初中数学代数部分知识点总结

实数知识点梳理一

一・实数的组成

正整数

f整数零

（有理数蟠驾再限小数或循环小数

I分数鳖？

实数«।负分数J

,无理数正无理数无限不循环小数

尢埋型〔负无理数

实数又可分为正实数，零，负实数

2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与

实数---对应

二•相反数、绝对值、倒数

1.相反数：只有符号不同的两个数回味相反数。数a的相反数是-a。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零.性

质：互为相反数的两个数之和为0。

2.绝对值：表示点到原点的距离，数2的绝对值为

3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1/a.O没

有倒数。

4.相反数是它本身的数只有0,；绝对值是它本身的数是非负数（0和

正数）；倒数是它本身的数是±1.

三、平方根与立方根

1.平方根：如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根。土麴a

的平方根记作一

（a>=0）

特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。

负数没有平方根。

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是

零。

开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

2.立方根：如果一个数的立方等于a,则称这个数为a立方根。数a

的立方根用后表示。

任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负

的立方根，零的立方根是零。

开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。

正确理解R、-石、士&、址iv_

a

V?=\\（«>0）场=aWJ-"

几个性质：、、、

四-实数的运算

1.有理数的加法法则：

a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

b）异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值

较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与

零相加等于原数。

2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

a-bb）

3.乘法法则：

a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何

数都得零.

b）儿个不为0的有理数相乘，积得符号由负因数的个数决定，当负

因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正

c）几个数相乘，只要有一个因数为0,积就为0

4.有理数除法法则：

a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对

值相除。0除以任何非0实数都得0。

b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

5.有理数的乘方：

在an中，a叫底数，n叫指数

a）正数的任何次辱都是正数；负数的偶次幕是正数，奇次事是负数;

0的任何次事都是0

b）a°=l（a不等于0）

6.有理数的运算顺序：

a）同级运算，先左后右

b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是

加减

五-实数大小比较的方法

1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数

2）比差法：若a-b>0则a>b；若a-b<0贝!Ja<b；若a-b=0则a=b

3）比商法:A.两个数均为正数时,a/b>l则a>b；a/b<l则a<bB.

两个数均为负数时，a/b>l则a<b；a/b〈l则a>bC.一正一负

时，正数,负数

4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2,则有a>b；均为负数时相

反

5）倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）

代数知识点梳理

第一章数与式

一、数的分类

正整数

整数零正有理数

r正实数

有理数负整数正无理数

实数'正分数或实数《零

分数《负有理数

负分数负实数

正无理数负无理数

无理数

负无理数

其中：有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数；无理数即无限不循环小数。

二、数轴

(1)三要素：原点、正方向、单位长度。

(2)实数<数轴上的点。

(3)利用数轴可比较数的大小，理解实数及其相反数、绝对值等概念。

三、绝对值

(1)几何定义：数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做同。

a(。〉0)

(2)代数定义：何=<0伍=0)

-CI(a<0)

四、相反数、倒数

(1)a、b互为相反数<=>a+b—0(或a=­b)

(2)a、b互为倒数oa,b—1(或a=—)。

b

五、几个非负数

(1)时20；

(2)a2>0；

(3)Va>0(心0)o

(4)若几个非负数之和为0,则这几个非负数也分别为0.

六、

(1)an叫做a的n次幕，其中，。叫底数，n叫指数。

(2)若x2=a(a20),则x叫做a的平方根，记做土瓦；算术平方根记做

(3)若x3=a,则x叫做a的立方根，记做〃\因此(后了=。

(4)算术平方根性质：

①(\[a)2—a(a20)；

②7^=14；

③=(心0,匕/0)；

[a_4a

④匕=不(心0，b>0)o

七、

关系互逆互逆互逆互逆互逆

运算加减乘除乘方开方平方开平方立方开立方

结果和差积商方根二次嘉平方根三次塞立方根

八、运算顺序：

1.同级：左一右

2.不同级：高一低(先乘方和开方，再乘除，最后加减)

3.有括号：里一外(先去小括号、再去中括号、最后去大括号)

九、运算律：

运算律加法乘法

交换律a+b=b+aab=ba

结合律(a+b)+c=Q+(b+c)(ab)c=Q(bc)

分配律[a+b]c=ac+bc

十、运算法则

①加法法则：

结果符号绝对值

两数就卜、

同号取原号相加

异号取“大”号相减

②减法法则：a—匕=。+(—h)

③乘法法则：

结果符号绝对值

两数疝嬴、

同号得正相乘

异号得负

④除法法则：a+b=aX-或

b

结果符号绝对值

两数温、

同号得正相除

异号得负

H—\a>0

①(・Q)2n+1=-Q2n+1

②(・Q)2n=Q2n

十二、有理式

'赦弋J单项式，次数、系数)

(1)有理式E［多项式(次数、项数)

分式

(2)乘法公式

平方差：(a+b)(a-b)=a2—b2

2

完全平方：(a±b)2=02±2ab+/7

(3)分式的基本性质：

aaxm/ET、工八、a+m八八、，，八

—=----(用于通分)=-----(用于约分)(mWO)

bhxmh-i-m

十三、整数指数籍

(1)零指数基Q"=1(aWO)；负指数第a-n=5QWO,“为正整数)；

(2)累的乘方：@aman=am+n(a>0,m、〃为整数)；

②(Qm)n=amn(Q>0,m、n为整数)；

③(ab)n=anbn(a>0,b>0,〃为整数)。

第二章方程与不等式

一、一元一次方程

(1)一元一次方程：变形后可化为ax=b(QWO)的形式，它的解为x=-。

a

(2)解一次方程的一般步骤：①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1。

二、一元二次方程

(1)一元二次方程：变形后可化为ax2+bx+c=0(aWO)的形式，

它的根为x—4ac(b2-4ac20),(即求根公

2a

式)。

(2)解二次方程的常用解法：①求根公式法；②因式分解法；③配方法。

(3)根的判别式：/=匕2—4QC

当。2—4ac>0时，方程有两个不等实数根；

当人一4ac=0时，方程有两个相等实数根;

当62-4ac<0时，方程没有实数根。

(4)韦达定理：形如x2+px+q=0,当p2一4qe0时，设这个方程的两实数

根为Xi、X2,则有Xi+X2=­p,x>x?=qo

三、分式方程

(1)分式方程：分母中含未知数的有理方程。

(2)解分式方程的实质：去分母(两边乘方程中各分式的最简公分母)，转化为整式方程

来解。

(3)注意：有时会产生增根，必须验根。

四、二元一次方程组

(1)基本思路：通过“消元”，转化为一元一次方程来解。

(2)常用解法：①代入消元法；②加减消元法。

(3)以二元一次方程组的解为坐标的点组成的图象是一条直线。

五、(1)不等式：用不等号(>,<,2,W,W)表示不等关系的式子。

(2)不等式基本性质：

①如果a>b,那么a+c>b+c,a一c>b一c；

Hh

②如果Q>b,并且。>0,那么QC>bc,->-;

cc

Hh

③如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,—<—。

cc

(3)解一元一次不等式的•般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；

⑤系数化为1(此步骤要注意不等号可能变方向)。

六、一元一次不等式组的解集：(设a<b)

①不等式组『,"'的解集是x>b；

[x>b

②不等式组的解集是x<a；

\x<h

③不等式组的解集是。<X<b-,

[x<b

④不等式组无解。

\x>h

平面直角坐标系知识点梳理

1.定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角

坐标系。

要求：画平面直角坐标系时，轴、y轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有

时会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是,

同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。

2.各个象限内点的特征:

第一象限：（+,+）点P（X,y）贝IIx>0,y>0；

第二象限：（一，+）点P（x,y）,则x<0,y>0；

第三象限：（一，一）点P（x,y）,则x<0,y<0；

第四象限：（+,一）点P（x,y）则x>0,y<0；

四个象限的特点：第一象限（正，正）第二象限（负，正），第三象限（负，负），

第四象限（正，负）

在x轴上：（x,0）点P（X,y）,则y=0：

在x轴的正半轴：（+,0）点P（x,y）,贝Ux>0,y=0；

在x轴的负半轴：(一，0)点P(x,y),贝Ijx<o,y=0；

在y轴匕(0,y)点P(x,y),则x=0；

在y轴的正半轴：(0,+)点P(x,y),则x=0,y>0；

在y轴的负半轴：(0,-)点P(x,y),则x=0,y<0；

坐标原点：(0,0)点P(x,y),则x=0,y=0；

3.点到坐标轴的距离：

点P(x,y)到x轴的距离为|y|,

到y轴的距离为|x|。

到坐标原点的距离为“+/(由勾股定理可得)

例2：已知：A(4,3),,C(3,0),求三角形ABC的面积.

例3：已知：A(l+2a,4a-5),且点A到两坐标轴的距离相等，求A点坐标.

4.中点与两点间的距离：

已知点A(x”y1),B(x2,y2)

两点AB距图为：AB=-元2)'+(Ni-乃厂

中点P的坐标为：(4产，咤区)

例4：已知：A(4,3).8(U)，C(3,0),求三角形ABC的面积.

例题5：如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是。(0,0),

A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线1经过点M(2,

3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线1的函数表达式是

5.点的对称：

点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,—n),

关于y轴的对称点坐标是(一m,n)

关于原点的对称点坐标是(一m,-n)

例题6：点A(-l,2)关于y轴的对称点坐标是；点A关于原点的对称

点的坐标是。点A关于x轴对称的点的坐标为

例7：在平面直角坐标系中，已知：A(l,2),8(4,4),在x轴上确定点C,使得

AC+BC最小.

6.平行线：

平行于x轴的直线上的点的特征：纵坐标相等；如直线PQ,P(m,〃)Q(p,〃)

平行于y轴的直线上的点的特征：横坐标相等；如直线PQ,P(〃?,〃)Q(〃?,p)

例8：已知点A(加一5,1),点B(4,m+1),且直线AB〃y轴，则机的值为多少？

7.象限角的平分线：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记作：

点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b,a)

第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，可记作：

点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(一b,-a)

例9：在平面直角坐标系中，已知点尸(x,y)横、纵坐标相等，在平面直角坐标系中表示

出点P的位置.

y

A

例10：在平面直角坐标系中，已知点P(x,y)横、纵坐标互为相反数，在平面直角坐标

系中表示出点尸的位置.

y

A

例11：在平面直角坐标系中，已知点P(x,y)横、纵坐标满足y=|x-l|,在平面直角坐

标系中表示出点P的位置.

8.点的平移:

在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a,

V）；

将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a,y）；

将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y+b）；

将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y—b）«

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，

从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

平移口诀："左+右一、上+下一"

例题12：将点P（-3,2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q（x,y）,

贝Uxy=________

答案（-5,-1）

第三章函数

一、函数

（1）定义：设在某变化过程中有两个变量x、y,对于x的每一个值，y都有唯一的值

与之对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时，也称y是x的函数。

（2）本质：----对应关系或多一对应关系。

有序实数对<..砥>平面直角坐标系上的点

（3）表示方法：解析法、列表法、图象法。

（4）自变量取值范围：

对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义；

对于纯数学问题，自变量取值必须保证函数关系式有意义:

①分式中，分母w0；

②二次根式中，被开方数，0；

③整式中，自变量取全体实数；

④混合运算式中，自变量取各解集的公共部份。

二、正比例函数与反比例函数

两函数的异同点

正比例函数反比例函数

定义y=kx（k为常数，kWO）y=±（k为常数，k#O）

X

自变量取值范围全体实数x羊0

图象•直线双曲线

k<04

71^

k>0

k>0

关于原点对称

性质①过原点不过原点

性质②k>0,过第一、三象限（如上图）

k<0,过第二、四象限（如左上图）

增减性k>0y随x的增大而增在每个象限内，y随x的增大而减小

大

k<0y随X的增大而减在每个象限内，y随x的增大而增大

小

二、一次函数（图象为直线）

（1）定义式：y=kx+b（k、b为常数，kWO）；自变量取全体实数。

k>0k<0

①k>0,过第一、三象限，y随x的增大而增大;

k<0,过第二、四象限，y随x的增大而减小。

②b=0,图象过（0,0）；

b>0,图象与轴的交点（0,b）在x轴上方；

b<0,图象与y轴的交点（0,b）在x轴下方。

三、二次函数（图象为抛物线）

（1）自变量取全体实数

一般式：y=ax2+bx+c[a,b、c为常数，aWO）,其中（0,c）为抛物线与y轴的交点;

顶点式：y=a（x—h）2+k（a、h、k为常数，aWO）,其中（h,k）为抛物线顶点;

零点式：y—a（x~xi）（x~（a、Xi、X2为常数，aWO）其中（xi，0）、（X2，0）

为抛物线与x轴的交点。xi、X2=一"±"2一4竺-4ac20）

2a

（2）性质：

h

①对称轴：x=——或x=6；

2a

de上zb4ac-h2、一八，、

②顶点：（———，-------）或（h,k）；

2a4a

③最值：当X=-2时，y有最大（小）值，为小

2a4a

或当x=6时，y有最大（小）值，为k；

④

抛物线a>0a<0

开口方向向上向下

y

图象

rr

k

\.

1

h1V

增减性当xv-2时，y随x的增大而减小当XV一二b时，y随X的增大而增大

2a2a

当x>一2时，y随X的增大而增大当x>—2时，y随x的增大而减小

2a2a

第四章统计

一、基本概念

（1）普查与抽样调查、总体与个体

（2）样本与样本容量（无单位）

注明：当样本在总体中合适或具有典型性时，才可从局部结论推广到整体；

不同抽样数据有差异。

（3）频数与频率

频数

频率注：频数之和=总次数；频率之和=1。

总次数

二、基本计算公式

（1）刻画一组数据的集中程度

①平均数；

算术平均数：X=—（X1+X2+…+X/7）

n

加权平均数：［=.%+♦=+•・・+/%,（其中Wj为权重，W1+W2+…+WA可以

w1+w2+…+%

为1）

*力+/'+...+项上,（其中力为频数，fl+f2+...+fk=n）

fl+fz++fk

②中位数；

③众数（可以不是数字）。

（2）刻画一组数据的离散或波动程度

①极差；

极差=最大值一最小值

②方差；

S2=—［（X1—x）+（X2—X）H-------F（xn-X）'）］

n

③标准差。

s=JF（标准差比方差常用）

三、统计图表

（1）统计表格（其中频数分布表格较常用）

（2）统计图形

①条形统计图；②折线统计图；③扇形统计图；④频数分布直方图：⑤频数折线图…

第五章概率

一、必然事件、不可能事件、不确定事件

P（必然事件）=1;P（不可能事件）=0;0<P（不确定事件）<1。

二、求概率

（1）用模拟实验的方法估计算概率

（2）用树状图和列表法计算概率

注意：等可能性与游戏规则的公平性；不放回与有放回情形。

不等式知识点大全一

考试内容：

不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.

考试要求：

（1）理解不等式的性质及其证明.

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,

并会简单的应用.

（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.

（4）掌握简单不等式的解法.

（5）理解不等式|a|-|b|W|a+b|W|a|+|b|

§06.不等式知识要点

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）号的定义：a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.

（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3）同向不等式与异向不等式.

（4）同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）a>bob<a（对称性）

（2）a>h,h>c=>a>c（传递性）

（3）a>b=a+c〉b+c（力口法单调性）

（4）a>b,c>da+c>b+d（同向不等式相加）

（5）a>b,c<da-c>b-d（异向不等式相减）

(6)a.>h,c>0ac>he

（7）a>byc<0ac<be（乘法单调性）

（8）a>b>0,c>d>0=>ac>bd（同向不等式相乘）

（9）a>b>0,0<c<T>2（异向不等式相除）

cd

（10）a>b,ab>0=>—<—（倒数关系）

ab

（IDa>b>0=a">b"（"eZ,且（平方法则）

（12）a>/>>0n爪>^（“eZ,且">1）（开方法则）

3.儿个重要不等式

（1）若aeR,则|。色0,0220

（2）若a、beR+,则”2+62±2"（或<?+£>2221a昨2"）（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a力都是正数，那么疝4土土（当仅当a=b时取等号）

2

极值定理：若x,y€R+,x+y=S,xy=P,则：

①如果P是定值那么当x可时，S的值最小；

②如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.

⑷若a、庆ceR，,则”如2腻（当仅当a=b=C时取等号）

3

⑸若帅>0,则（当仅当a=b时取等号）

ah

22

(6)。>0时/ox<-〃或X>Q;\x\<a<=>x<a<^>-a<x<a

(7)若a、bwR,则||a|-16|凶a±b国a|+1b|

4.几个著名不等式

(1)平均不等式：如果a,b都是正数，那么2，嬴，a+叱比^(当仅当a=b

-1-

ab

时取等号)即：平方平均2算术平均2儿何平均2调和平均(Q、b为正数)：

特别地，ab<(­)2<^^-(当a=b时•，(色3)2=色*=")

2222

“2+[+Y>("+；+[(a,b,cwR,a=b=c时取等)

平均不等式：a；+诙+...+《：2—(/+牝+..・+a4)~

n

注:例如：(ac+W)2<(6i2+Z?2)(c2+J2).

常用不等式的放缩法：①_1一二_=_^Y3Y—^=—L_L(〃22)

nn+\n(n+1)n'n(n—1)M—1n

②Jn+l--Jn--r="―IY—Y—r=_]i--------=4n--1(">1)

J〃+Jn+1y/n+y/n-\

(2)柯西不等式：若生,<«2，。3,…，册eR,々也也…，2eR;则,,,,,,

(6Z|/?|+a2b2+为与+…+a"b”)2V(a；+a：+a；+…+a：)(bj++b；+…b：)

当且仅当"""…=4■时取等号

仇%打踵

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点X”X2(X尸匕),有

Xi+Xj/(x,)+/(x,).f(Xt+X2s/(x,)+/(x2)

J22J22

则称f(x)为凸(或凹)函数.

5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例①一元一次不等式ax〉b解的讨论；

②一元二次不等式aV+bx+cXKaWO）解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

gW八年」g（r）[g（x）=O

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

/(.v)ao

=＞定义域

J(x)>g(x)

77Cr)>S(x)«|g(x)20或素;fM>o

②g(6zo

fM<[g(x)]2

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

afM>asM(a>1)<=>f(x)>g(x);a,M>如《>(0<a<1)of(x)<g(x)

afw>h(a>0,/?>0)<»f(x)\ga>\gh

(5)对数不等式：转化为代数不等式

7«>0[/(%)>0

log„f{x}>log„g(x)(a>1)=<g(x)>0;log(,/(x)>log”g(x)(0<a<1)<=>-g(x)>0

,f(x)>g(x)[/(x)<g(x)

(6)含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；

③应用化归思想等价转化

I/(X)|<g(x)o{§(/)<y(x)<g(x)

"(x)|>g(x)og(x)<0(〃x),g(x)不同时为。)或{盟Ug(x)骑(x)>g(x)

注：常用不等式的解法举例（X为正数）：

①X（1—X）2=；.2X（1-幻（1-X）4；（$3=（

类彳以于〉=5亩%©052%=411犬（1-5泊2幻，③|x+4=|x|+|1|（x与1同号，故取等）42

XXX

分式方程知识点复习总结大全

17.1分式及其基本性质

1.分式的概念

A

形如3①、8是整式，且B中含有字母，BWO）的式子，叫做分式,其中4叫做分

式的分子,B叫做分式的分母

整式和分式统称有理式，即有有理式|整式，分式.

2.分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.

分析分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出

分子与分母的公因式.

分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的

同分母的分式.通分的关键是确定儿个分式的公分母，通常取各分母所有因式的

最高次累的积作为公分母（叫做最简公分母）.

§17.2分式的运算

1.分式的乘除法

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分

式，应该通过约分进行化简.

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

2.分式的加减法

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.

§17.3可化为一元一次方程的分式方程

概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.

在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了

分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.因此，在解

分式方程时必须进行检验

10030

例2解方程：xx-7.

解方程两边同乘以x(x-7),约去分母，得

100(x-7)=30x.

解这个整式方程，得

x=10.

检验：把x=10代入x(x-7),得

10X(10-7)W0

所以，x=10是原方程的解.

§17.4零指数幕与负整指数幕

任何不等于零的数的零次第都等于1

任何不等于零的数的一n（n为正整数）次幕，等于这个数的n次幕的倒数.

知识要点总结注意问题题型

分式的概念及有意义的A分母分式已知%2—4

3的形式且B中有字母

条件

B4x+2

-才有意义

B

当X为何值时，分式有意义？

兀不是分式

当X为何值时，分式无意义？

分式值为0的条件分子等于0,分母不等于0二者必须同时满当X为何值时，分式的值为零？

足，缺一不可

（4）当x=-3时，分式的值是

多少？

分式的基本性质不改变分式的值，使下列各式的

AA»MA^MMwO/wO,且

B一B»M一B+M分子或分母中最高次项的系数都

均表示的是正微ac/八、

——=——（c。0）

是整式2b2bc'）

分式的符号法则AA分式约分

A-A-AA,B或勺二者同

万一金-"

B确定公因式

—A-A-AA

或—---------=—时改变其中两个

B-BB-B

的符号，分式的值

不变

约分把分式中的分子、分母的公因约分是一个恒等确定最简公分母

式约去的变形过程叫约分变形。找最大公因

通分

式是关键

通分把几个异分母分式分别化为通分前后分式的

与原分式相等的同分母分式值不变；找最简公

的变形过程叫通分。分母是通分的关

键

知识要点方法题型

公因式找公因式的方法：确定公因式并约分：

（1）分子分母是单项式时，先找分子分母系

数的最大公约数，再找相同字母的最低次第，i-3a354c

它们的积就是公因式(1)---------

12ab3

（2）分子分母是多项式时，先把多项式因式

分解，再按（1）中的方法找公因式-4ab+4b2

⑵22

最简公分母找最简公分母到方法（分母均为单项式）确定最简公分母并通分：

1、各分母系数的最小公倍数。

15

2、各分母所含所有因式或字母的最高次豪。（1）--，

3、所得的系数与各字母（或因式）的最高次3x12盯

幕的积（其中系数都取正数）

找最简公分母到方法（分母均为多项式）1X

1、先把分母因式分解。

(2—x)2Y-4

2、各分母系数的最小公倍数。

3、各分母所含所有因式的最高次幕。

4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次

事的积（其中系数都取正数）(2)

小结

一、知识结构

二、注意事项

1.分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，

要注意不断地与分数情形进行类比，以加深对新知识的理解.

2.解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为

整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验.学习时，要理解增根产生

的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验.

3.由于引进了零指数基与负整指数基，绝对值较小的数也可以用科学记数

法来表示.

一次函数知识点梳理三

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个

确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为

因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对

应

3,定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法:

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解

析式

6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的

横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：指点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为

纵坐标，描出表格中数值对应的各点）：第三步：连线（按照横坐标由小到大的

顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与

函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关

系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

A.一次函数

1、一次函数的定义

一般地，形如）'=履+，（k,。是常数，且的函数，叫做一次函数，其中x

是自变量。当匕=°时，一次函数）'=履，又叫做正比例函数。

⑴-次函数的解析式的形式是丫=履+',要判断一个函数是否是一次函数，就是判

断是否能化成以上形式.

⑵当6=0,%#0时，）'=履仍是一次函数.

⑶当6=0,%=。时・，它不是一次函数.

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.

2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx（k是常数，k*0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式y=kx（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取零

当k〉0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；

当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.

（1）解析式：y=kx（k是常数，kWO）

⑵必过点：（0,0）、（1,k）

⑶走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

（4）增减性：k〉0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小

（5）倾斜度：k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3、一次函数及性质

一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，kwO）,那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx

+1）即丫=1«,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式y=k