高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)导数的应用

x届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）导数的应用第十三节导数的应用，?，[备考方向要明了]考什么怎么考1.利用极值或最值求解参数的取值范围,如x年浙江1.能利用导数研究函数的单调T22等,性、极值或最值,幵会解决不2.利用导数研究方程根的分布情况、两曲线交点的个之有关的不等式问题,数等,如x年xT20等,2.会利用导数解决某些简单的实3.利用导数证明不等式，解决有关不等式问题，如x年天际问题.津T20等.[归纳?知识整合]1(生活中的优化问题生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题(2(利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤[探究]1.求实际问题中的最大、最小值，与求一般函数的最值有什么区别,提示:在实际问题中要注意函数的定义域应使实际问题有意义(另外～在求实际问题的最值时～如果区间内只有一个极值点～就是最值点(2(如何求实际问题中的最值问题,提示:有关函数最大值、最小值的实际问题～一般指的是单峰函数～也就是说在实际问题中～如果遇到函数在区间内只有一个极值点～那么不与区间端点比较～就可以知道这个极值点就是最大(小)值点([自测?牛刀小试]1((教材习题改编)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的13函数关系式为y,,x，81x,234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()3A(13万件B(x万件9万件D(7万件C(13解析:选C?y,,x，81x,234～32?y′,,x，81～令y′,0～则x,9.2((教材习题改编)从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()33A(xcmB(72cm33C(144cmD(160cm33解析:选C设盒子容积为ycm～盒子的高为xcm.则y,(10,2x)(16,2x)x,4x,252x，160x(0<x<5)～2?y′,xx,104x，160.20,0～得x,2或(舍去)～令y′33?y,6×x×2,144(cm)(max3((教材习题改编)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是20.8πr分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米(已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.则瓶子半径为________时，每瓶饮料的利润最大，瓶子半径为________时，每瓶饮料的利润最小(432解析:由于瓶子的半径为r～所以每瓶饮料的利润是y,f(r),0.2×πr,0.8πr,33r2,,0.8π,r～0<r?6.,,32令f′(r),0.8π(r,2r),0～则r,2.当r?(0,2)时～f′(r)<0,当r?(2,6)时～f′(r)>0.则f(r)的最大值为f(6)～最小值为f(2)(答案:6234(函数f(x),ax，x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________(3解析:f(x),ax，x恰有三个单调区间～即函数f(x)恰有两个极值点～即f′(x),0有两个不等实根(32?f(x),ax，x～?f′(x),3ax，1.要使f′(x),0有两个不等实根～则a<0.答案:(,?，0)利用导数研究函数的零点或方程的根x2[例1](x?x高考)已知函数f(x),e，ax,ex，a?R.(1)若曲线y,f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间;(2)试确定a的取值范围，使得曲线y,f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.x[自主解答](1)由于f′(x),e，2ax,e～曲线y,f(x)在点(1～f(1))处的切线斜率k,2a,0～x所以a,0～即f(x),e,ex.x此时f′(x),e,e～由f′(x),0得x,1.当x?(,?～1)时～有f′(x),0,当x?(1～，?)时～有f′(x),0.～1)～单调递增区间为(1～，?)(所以f(x)的单调递减区间为(,?(2)设点P(x～f(x))～曲线y,f(x)在点P处的切线方程为y,f′(x)(x,x)，f(x)～00000令g(x),f(x),f′(x)(x,x),f(x)～故曲线y,f(x)在点P处的切线与曲线y,f(x)只有000一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点(x因为g(x),0～且g′(x),f′(x),f′(x),e,ex，2a(x,x)(0000?若a?0～当x,x时～g′(x),0～0则x,x时～g(x),g(x),0,00当x,x时～g′(x),0～则x,x时～g(x),g(x),0.故g(x)只有唯一零点x,x.0000由P的任意性知～a?0不合题意(x?若a,0～令h(x),e,ex，2a(x,x)～则00xh(x),0～h′(x),e，2a.0**令h′(x),0～得x,ln(,2a)～记x,ln(,2a)～则当x?(,?～x)时～h′(x),0～从***而h(x)在(,?～x)内单调递减,当x?(x～，?)时～h′(x),0～从而h(x)在(x～，?)内单调递增(****a(若x,x～由x?(,?～x)时～g′(x),h(x),h(x),0,由x?(x～，?)时～g′(x)0*,h(x),h(x),0.所以g(x)在R上单调递增(*所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x,x.***b(若x,x～由于h(x)在(x～，?)内单调递增～且h(x),0～则当x?(x～x)时～有000*g′(x),h(x),h(x),0～g(x),g(x),0,任取x?(x～x)有g(x),0.00101x22又当x?(,?～x)时～易知g(x),e，ax,(e，f′(x))x,f(x)，xf′(x),ex，ax,1000012(e，f′(x))x,f(x)，xf′(x),ax，bx，c～0000其中b,,(e，f′(x))～c,ex,f(x)，xf′(x)(010002由于a,0～则必存在x,x～使得ax，bx，c,0.2122所以g(x)<0～故g(x)在(x～x)内存在零点～即g(x)在R上至少有两个零点(2213x*xc(若x<x～仿b并利用e>～可证函数g(x)在R上至少有两个零点(06综上所述～当a<0时～曲线y,f(x)上存在唯一点P(ln(,2a)～f(ln(,2a)))～曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.———————————————————利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现(121(设函数f(x),lnx,ax,bx.21(1)当a,b,时，求f(x)的最大值;21a2(2)令F(x),f(x)，ax，bx，(0<x?3)，其图象上任意一点P(x，y)处切线的斜率002x1k?恒成立，求实数a的取值范围;22(3)当a,0，b,,1时，方程2mf(x),x有唯一实数解，求正数m的值(解:(1)依题意～知f(x)的定义域为(0～，?)～1112当a,b,时～f(x),lnx,x,x～242,，x，2，，x,1，111f′(x),,x,,～x222x令f′(x),0～解得x,1(x,,2舍去)(当0<x<1时～f′(x)>0～此时f(x)单调递增,当x>1时～f′(x)<0～此时f(x)单调递减(3所以f(x)的极大值为f(1),,.43又因为f′(x),0在(0～，?)上有唯一解～所以f(x)的最大值为,.4a(2)由题意得F(x),lnx，～x?(0,3]～则x,ax10k,F′(x),?在x?(0,3]上恒成立～020x2012,,所以a?,x，x～x?(0,3](00max0,,21112当x,1时～,x，x取得最大值～所以a?.0002222(3)因为方程2mf(x),x有唯一实数解～2所以x,2mlnx,2mx,0有唯一实数解(2设g(x),x,2mlnx,2mx～22x,2mx,2m则g′(x),.x2令g′(x),0～即x,mx,m,0.2，4mm,m因为m>0～x>0～所以x,<0(舍去)～122m，4m，mx,.22当x?(0～x)时～g′(x)<0～g(x)在(0～x)上单调递减,22(x～，?)时～g′(x)>0～g(x)在(x～，?)上单调递增,当x,x时～g′(x),0～当x?2222g(x)取最小值g(x)(22,,g，x，,0～x,2mlnx,2mx,0～2222,,2,,mf(x),x因为2有唯一实数解～则即所以2g′，xx,，,0～,,mx,m,0～,,2222mlnx，mx,m,0.又因为m>0～所以2lnx，x,1,0.(*)2222设函数h(x),2lnx，x,1～当x>0时～h(x)是增函数～所以h(x),0至多有一解(2m，m，4m1因为h(1),0～所以方程(*)的解为x,1～即,1～解得m,.222利用导数解决恒成立及参数求解问题x[例2]已知函数f(x),e,ax，其中a>0.R，f(x)?1恒成立，求a的取值集合;(1)若对一切x?(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x，f(x))，B(x，f(x))(x<x)，记直线AB的斜率为112212k，证明:存在x?(x，x)，使f′(x),k成立(0120x[自主解答](1)f′(x),e,a～令f′(x),0得x,lna.当x<lna时～f′(x)<0～f(x)单调递减,当x>lna时～f′(x)>0～f(x)单调递增～故当x,lna时～f(x)取最小值f(lna),a,alna.于是对一切x?R～f(x)?1恒成立～当且仅当a,alna?1.?令g(t),t,tlnt～则g′(t),,lnt.当0<t<1时～g′(t)>0～g(t)单调递增,当t>1时～g′(t)<0～g(t)单调递减(故当t,1时～g(t)取最大值g(1),1.因此～当且仅当a,1时～?式成立(综上所述～a的取值集合为{1}(f，x，,f，x，,exex2121(2)由题意知～k,,,a～x,xx,x2121,exex21x令φ(x),f′(x),k,e,～则x,x21ex1x,x21φ(x),,[e,(x,x),1]～121x,x21ex2x,x12φ(x),[e,(x,x),1](212x,x21tt令F(t),e,t,1～则F′(t),e,1.当t<0时～F′(t)<0～F(t)单调递减,当t>0时～(t)>0～F(t)单调递增(F′t故当t?0时～F(t)>F(0),0～即e,t,1>0.x,x21从而e,(x,x),1>0～21x,x12e,(x,x),1>0～12exex12又>0～>0～x,xx,x2121所以φ(x)<0～φ(x)>0.12因为函数y,φ(x)在区间[x～x]上的图象是连续不断的一条曲线～所以存在x?(x～1201x)～使φ(x),0～即f′(x),k成立(200xax若将函数“f(x),e,ax，a>0”改为“f(x),e,x，a?0”，试解决问题(1)(ax解:若a<0～则对一切x>0～f(x),e,x<1～这与题设矛盾(又a?0～故a>0.11ax而f′(x),ae,1～令f′(x),0得x,ln.aa1111当x<ln时～f′(x)<0～f(x)单调递减,当x>ln时～f′(x)>0～f(x)单调递增(故当xaaaa1111111,,,ln时～f(x)取最小值fln,,ln.,,aaaaaaa于是对一切x?R～f(x)?1恒成立～当且仅当111,ln?1.?aaa令g(t),t,tlnt～则g′(t),,lnt.当0<t<1时～g′(t)>0～g(t)单调递增,当t>1时～g′(t)<0～g(t)单调递减(1故当t,1时～g(t)取最大值g(1),1.因此～当且仅当,1～即a,1时～?式成立(a综上所述～a的取值集合为{1}(——————————————————不等式恒成立问题的求解方法(1)由不等式恒成立求解参数取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即要使a?g(x)恒成立，只需a?g(x)，要使a?g(x)恒成立，只需a?g(x).另外，当参数不宜maxmin进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式f(x)?0恒成立，可求得f(x)的最小值h(a)，令h(a)?0即可求出a的取值范围((2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式(2x2(已知f(x),(x,a)e，a?R.(1)若a,3，求f(x)的单调区间和极值;是f(x)的两个不同的极值点，且|x，x|?|xx|，求实数a的取值集合M;(2)已知x，x212121332(3)在(2)的条件下，若不等式3f(a)<a，a,3a，b对于a?M都成立，求实数b的取2值范围(2x解:(1)?a,3～?f(x),(x,3)e.2x令f′(x),(x，2x,3)e,0?x,,3或x,1.当x?(,?～,3)?(1～，?)时～f′(x)>0,x?(,3,1)时～f′(x)<0～?f(x)的单调递增区间为(,?～,3)～(1～，?),单调递减区间为(,3,1)(,3?f(x)的极大值为f(,3),6e,极小值为f(1),,2e.2x2(2)令f′(x),(x，2x,a)e,0～即x，2x,a,0～由题意其两根为x～x～12?x，x,,2～xx,,a～1212故,2?a?2.又Δ,4，4a>0～?,1<a?2.?M,{a|,1<a?2}(333232(3)原不等式等价于b>3f(a),a,a，3a对a?M都成立～记g(a),3f(a),a,a，223a(,1<a?2)～2a则g′(a),3(a，a,1)(e,1)～令g′(a),0～5,1,,1,5,则a,或a,0.a,舍去,,22故当a变化时～g′(a)～g(a)的变化情况如下表:,,,5,1,5,15,1(,1,0)a020，，2,,,,222g′(a)，0,0，2g(a)极大值极小值6e,82又?g(0),0～g(2),6e,8～2?g(a),6e,8～max2?b>6e,8.2故实数b的取值范围为(6e,8～，?).利用导数解决生活中的优化问题[例3]随着生活水平的不断提高，人们越来越关注身体健康，而电视广告在商品市场中占有非常重要的地位(某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在x年通过电视广告进行一系列促销活动(经过市场调查和测算，保健品的年销量x(单位:百万件)与年促销费t(单位:百万元)之间满足:3,x与t，2成反比例(如果不搞促销活动，保健品的年销量只能是1百万件，x年生产该保健品的固定费用为5百万元，每生产1百万件保健品需再投入40百万元的生产费用(若将每件保健品的售价定为“其生产成本的150%”与“平均每件促销费的m倍(0<m?1.2)”之和，则当年生产的保健品恰能销完(假设x年该企业的保健品恰能销完，且该企业的年产量最大为2.6百万件((1)将x年的利润y(单位:百万元)表示为促销费t的函数;(2)该企业x年的促销费投入多少百万元时，企业的年利润最大,(注:利润,销售收入,生产成本,促销费，生产成本,固定费用，生产费用)[自主解答](1)因为年销量x百万件与年促销费t百万元之间满足:3,x与t，2成反k比例～所以设t，2,(k?0)(3,xk由题意知～当t,0时～x,1～代入得0，2,～解得k,4.3,144所以t，2,～即x,3,(t?0)(3,xt，24由该企业的年产量最大为2.6百万件可得～x,3,?2.6～解得t?8.t，2由于x年的年销量为x百万件～则生产成本为y,5，40x～1促销费用为t～年销售收入为y,150%×y，mt.2111所以x年的利润y,y,y,t,y，(m,1)t,×(5，40x)，(m,1)t.211224将x,3,代入上式～得t，241，,,，3,y,×5，40×，(m,1)t，,,，t，2280,2.5，60,，(m,1)tt，280,62.5,，(m,1)t(0?t?8,0<m?1.2)(t，280(2)由(1)知～y,62.5,，(m,1)t(0?t?8)～t，280所以y′,，(m,1)(2，，t，28080当1?m?1.2时～m,1?0～?0～所以y′,，(m,1)?0～此时函数在22，t，2，，t，2，80[0,8]上单调递增～所以当t,8时～年利润y取得最大值～最大值为62.5,，(m,1)×88，2,46.5，8m(百万元),80,80，,0解得t,,2～函数在当0<m<1时～由y′,,上单调递增～0～,21,m,，1,m,80，在,,上单调递减(,2～8,，1,m80所以当t,,2时～函数取得最大值～1,m80,80,最大值为62.5,，(m,1)?,,,64.5,85，1,m，,,2,,1,m80,,，2,,,2,,1,m2m(百万元)(综上～若1?m?1.2～则当促销费投入t,8时～企业的年利润y取得最大值～最大值80为46.5，8m(百万元),若0<m<1～则当促销费投入t,,2时～企业的年利润y取1,m得最大值～最大值为64.5,85，1,m，,2m(百万元)(———————————————————利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y,f(x)，根据实际意义确定定义域;(2)求函数y,f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x),0得出定义域内的实根，确定极值点;(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值;(4)还原到原实际问题中作答(3(某商场预计x年1月份起前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位:件)与x1*的关系近似地满足p(x),x(x，1)(39,2x)(x?N，且x?x)(该商品第x月的进货单价2*150，2x，x?N，且1?x?6，，,,q(x)(单位:元)与x的近似关系是q(x),,160*185,，x?N，且7?x?12，.,,x(1)写出x年第x月的需求量f(x)(单位:件)与x的函数关系式;(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场x年第几月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元,解:(1)当x,1时～f(1),p(1),37～*当2?x?x～且x?N时～112f(x),p(x),p(x,1),x(x，1)(39,2x),(x,1)?x(41,2x),,3x，40x.222*经验证x,1符合f(x),,3x，40x(x?N～且1?x?x)((2)该商场预计第x月销售该商品的月利润为2*，,3x，40x，，35,2x，，x?N～且1?x?6，～,,g(x),,1602*，,3x，40x，?，x?N～且7?x?12，～,,x32*,6x,185x，1400x，x?N～且1?x?6，～,,即g(x),*,,,480x，6400，x?N～且7?x?12，～*2当1?x?6～且x?N时～g′(x),18x,370x，1400～令g′(x),0～解得x,5～x,140(舍去)(9当1?x?5时～g′(x)>0～当5<x?6时～g′(x)<0～?当x,5时～g(x),g(5),3x5(元)(max*?当7?x?x～且x?N时～g(x),,480x，6400是减函数～当x,7时～g(x),g(7)max,3040(元)～综上～商场x年第5个月的月利润最大～最大利润为3x5元(2个转化——解决含参问题及不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用((2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理(3个注意点——利用导数解决实际问题应注意的问题(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围((2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去((3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.数学思想——转化与化归思想在证明不等式中的应用对不等式的证明而言，我们可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是:构造可导函数?研究单调性或最值?得出不等关系?整理得出结论(lnx，k[典例](x?x高考)已知函数f(x),(k为常数，e,2.71828„是自然对数的底数)，xe曲线y,f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行((1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间;2,2(3)设g(x),(x，x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明:对任意x>0，g(x)<1，e.lnx，k[解](1)由f(x),～xe,kx,xlnx1得f′(x),～x?(0～，?)～xxe由于曲线y,f(x)在(1～f(1))处的切线与x轴平行～所以f′(1),0～因此k,1.1(2)由(1)得f′(x),(1,x,xlnx)～x?(0～，?)～xxe令h(x),1,x,xlnx～x?(0～，?)～当x?(0,1)时～h(x)>0,当x?(1～，?)时～h(x)<0.x又e>0～所以x?(0,1)时～f′(x)>0,当x?(1～，?)时～f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)～单调递减区间为(1～，?)(2(3)证明:因为g(x),(x，x)f′(x)～x，1所以g(x),(1,x,xlnx)～x?(0～，?)(xe,2因此对任意x>0～g等价于(x)<1，exe,21,x,xlnx<)((1，ex，1由(2)h(x),1,x,xlnx～x?(0～，?)～,2所以h′(x),,lnx,2,,(lnx,lne)～x?(0～，?)～,2因此当x?(0～e)时～h′(x)>0～h(x)单调递增,,2当x?(e～，?)时～h′(x)<0～h(x)单调递减(,2,2所以h(x)的最大值为h(e),1，e～,2x故1,.设φ(x),x,xlnx?1，ee,(x，1)(xx0因为φ′(x),e,1,e,e～所以当x?(0～，?)时～φ′(x)>0～φ(x)单调递增～φ(x)>φ(0),0～x故当x?(0～，?)时～φ(x),e,(x，1)>0～xe即>1.x，1xe,2,2所以1,x,xlnx?1，e<)((1，ex，1,2因此对任意x>0～g(x)<1，e.[题后悟道],21(本题中证明x>0时，g(x)<1，e，即证明函数g(x)在(0，，?)上的最大值小于1，,2e，从而将问题转化为求函数g(x)在(0，，?)上的最大值问题，使问题得以顺利解决(2(一般地，证明f(x)<g(x)，x?(a，b)，可以构造函数F(x),f(x),g(x)，如果F′(x)<0，，b)上是减函数，同时若F(a)?0，由减函数的定义可知，x?(a，b)时，有则F(x)在(aF(x)<0，即证明了f(x)<g(x)(证明f(x)>g(x)，x?(a，b)，可以构造函数F(x),f(x),g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)?0，由增函数的定义可知，x?(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)([变式训练](x?x高考)设f(x),ln(x，1)，x，1，ax，b(a，b?R，a，b为常数)，曲线y,f(x)与直3线y,x在(0,0)点相切(2(1)求a，b的值;9x(2)证明:当0<x<2时，f(x)<.x，6解:(1)由y,f(x)过(0,0)点～得b,,1.3由y,f(x)在(0,0)点的切线斜率为～2113,,,，，a又y′|,,，a～得a,0.,,,,,x0x0x，1,,,22x，1(2)证明:法一:由均值不等式～当x>0时～x2，x，1，?1<x，1，1,x，2～故x，1<，1.29x记h(x),f(x),～则x，61154h′(x),，,2x，，x，16，2x，12，x，1x，65454,,<,222，x，1，，x，6，4，x，1，，x，6，3，x，6，,216，x，1，,.2，x，1，，x，6，43令g(x),(x，6),216(x，1)～则当0<x<2时～2g′(x),3(x，6),216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数(又由g(0),0～得g(x)<0～所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数(又h(0),0～9x得h(x)<0.于是当0<x<2时～f(x)<.x，6法二:由(1)知f(x),ln(x，1)，x，1,1.由均值不等式～当x>0时～2，x，1，?1<x，1，1,x，2～x故x，1<，1.?2令k(x),ln(x，1),x～,x1则k(0),0～k′(x),,1,<0～x，1x，1故k(x)<0～即ln(x，1)<x.?3由??得～当x>0时～f(x)<x.2记h(x),(x，6)f(x),9x～则当0<x<2时～h′(x),f(x)，(x，6)f′(x),9113,,，<x，(x，6),9,,x，12,,2x，11,[3x(x，1)，(x，6)(2，x，1),18(x，1)]2，x，1，1x,,，，<3x，x，1，，，x，6，3，,18，x，1，，,,，2，x，1，2x,(7x,18)<0.4，x，1，因此h(x)在(0,2)内单调递减(9x又h(0),0～所以h(x)<0～即f(x)<.x，6一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)31(已知f(x),x,ax在[1，，?)上是单调增函数，则a的最大值是()A(0B(1C(2D(32解析:选Df′(x),3x,a?0在[1～，?)上恒成立～22即a?3x在[1～，?)上恒成立～而(3x),3×x,3～min?a?3～故a,3.max32(设动直线x,m与函数f(x),x，g(x),lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为()11A.(1，ln3)B.ln333C(1，ln3D(ln3,11332解析:选A由题意知|MN|,|x,lnx|～设h(x),x,lnx～h′(x),3x,～令h′(x)x331111111,,,0～得x,～易知当x,时～h(x)取得最小值～h(x),,ln,1,ln>0～min,,3333333111,,故|MN|,1,ln,(1，ln3)(min,,33323(若不等式2xlnx?,x，ax,3对x?(0，，?)恒成立，则实数a的取值范围是()A((,?，0)B((,?，4]C((0，，?)D([4，，?)332解析:选B2xlnx?,x，ax,3～则a?2lnx，x，～设h(x),2lnx，x，(x>0)～则xx，x，3，，x,1，h′(x),.当x?(0,1)时～h′(x)<0～函数h(x)单调递减,当x?(1～，?)时～2xh′(x)>0～函数h(x)单调递增～所以h(x),h(1),4.所以a?h(x),4.minmin4(球的直径为d，其内接正四棱柱体积V最大时的高为()23A.dB.d2232C.dD.d33解析:选C设正四棱柱的高为h～底面边长为x～如图是其组合体的轴截面图形～则AB,2x～BD,d～AD,h～222?AB，AD,BD～222?2x，h,d.22,hd2?x,.222，d,h，h1223又?V,x?h,,(dh,h)～221322?V′(h),d,h.2233令V′(h),0～得h,d或h,,d(舍去)(3335(已知函数f(x),x,3x，若对于区间[,3,2]上任意的x，x都有|f(x),f(x)|?t，则1212实数t的最小值是()A(0B(10C(18D(202解析:选Df′(x),3x,3～令f′(x),0～解得x,?1～所以1～,1为函数f(x)的极值点(因为f(,3),,18～f(,1),2～f(1),,2～f(2),2～所以在区间[,3,2]上～f(x),2～maxf(x),,18～所以对于区间[,3,2]上任意的x～x～|f(x),f(x)|?20～所以t?20～从而tmin1212的最小值为20.1,,6((x?宜昌模拟)已知y,f(x)是奇函数，当x?(0,2)时，f(x),lnx,axa>，当x?(,,,22,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()11A.B.431C.D(12解析:选D由题意知～当x?(0,2)时～f(x)的最大值为,1.11令f′(x),,a,0～得x,～xa1当0<x<时～f′(x)>0,a1当x>时～f′(x)<0.a1,,?f(x),f,,lna,1,,1～解得a,1.max,,a二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)π37(设f(x),x，x，x?R，若当0?θ?时，f(msinθ)，f(1,m)>0恒成立，则实数m的2取值范围是________(32解析:因为f(x),x，x～x?R～故f′(x),3x，1>0～则f(x)在x?R上为单调增函数～又因为f(,x),,f(x)(故f(x)也为奇函数～由f(msinθ)，f(1,m)>0～即f(msinθ)>,f(1,m)ππ,f(m,1)～得msinθ>m,1～即m(sinθ,1)>,1～因为0?θ?～故当θ,时～0>,1恒221π1,,，,成立,当θ?0～时～m<恒成立～即m<,1.故m<1.min，,,,1,sinθ12,sinθ答案:(,?，1)8(某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单2,p，则该商品零售价定为位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q,8300,170p________元时利润最大，利润的最大值为________(解析:设商场销售该商品所获利润为y元～则2y,(p,20)Q,(p,20)(8300,170p,p)32,,p,150p，x700p,166000(p?20)～2则y′,,3p,300p，x700.2令y′,0得p，100p,3900,0～解得p,30或p,,130(舍去)(则p～y～y′变化关系如下表:p(20,30)30(30～，?)y′，,0极大值y故当p,30时～y取极大值为23000元(32又y,,p,150p，x700p,166000在[20～，?)上只有一个极值～故也是最值(所以该商品零售价定为每件30元～所获利润最大为23000元(答案:30230001329(若函数f(x),x,ax满足:对于任意的x，x?[0,1]都有|f(x),f(x)|?1恒成立，12123则a的取值范围是________(12232解析:由题意得～在[0,1]内～f(x),f(x)?1.f′(x),x,a～函数f(x),x,ax的maxmin3极小值点是x,|a|.若|a|>1～则函数f(x)在[0,1]上单调递减～故只要f(0),f(1)?1～即只要423122322a?～即1<|a|?,若|a|?1～此时f(x),f(|a|),|a|,a|a|,,a|a|～由于f(0),0～min3333123122222,,f(1),,a～故当|a|?时～f(x),f(1)～此时只要,a，a|a|?1即可～即a|a|,1max,,33333232233?～由于|a|?～故|a|,1?×,1<0～故此式成立,当<|a|?1时～此时f(x),max33333322，2323，f(0)～故只要a|a|?1即可～此不等式显然成立(综上～a的取值范围是.,～，，333，2323，答案:,，，，33三、解答题(本大题共3小题，每小题x分，共36分)10(已知函数f(x),alnx,ax,3(a?R)((1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y,f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45?，对于任意的t?[1,2]，m32，，函数g(x),x，x?f′，x，，在区间(t,3)上不是单调函数，求m的取值范围(，，2解:(1)根据题意知～,x，a，1f′(x),(x>0)～x当a>0时～f(x)的单调递增区间为(0,1]～单调递减区间为(1～，?),当a<0时～f(x)的单调递增区间为(1～，?)～单调递减区间为(0,1],当a,0时～f(x)不是单调函数～a(2)?f′(2),,,1～2?a,,2.?f(x),,2lnx，2x,3.m32,,?g(x),x，，2x,2x～,,22?g′(x),3x，(m，4)x,2.?g(x)在区间(t,3)上不是单调函数～且g′(0),,2.,g′，t，<0～,,?g′，3，>0.,,由题意知:对于任意的t?[1,2]～g′(t)<0恒成立～g′，1，<0～,,g′，2，<0～?,,g′，3，>0～,37?,<m<,9.3lnxx(已知f(x),ax,lnx，x?(0，e]，g(x),，其中e是自然常数，a?R.x(1)讨论当a,1时，函数f(x)的单调性和极值;1(2)求证:在(1)的条件下，f(x)>g(x)，;2(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值;若不存在，说明理由(x,11解:(1)?f(x),x,lnx～f′(x),1,,～xx?当0<x<1时～f′(x)<0～此时f(x)单调递减,当1<x<e时～f′(x)>0～此时f(x)单调递增(?f(x)的极小值为f(1),1.(2)证明:?f(x)的极小值为1～即f(x)在(0～e]上的最小值为1～f(x),1.?min1,lnx又?g′(x),～2x?0<x<e时～g′(x)>0～g(x)在(0～e]上单调递增(11?g(x),g(e),<.maxe21?f(x),g(x)>.minmax21?在(1)的条件下～f(x)>g(x)，.2ax,11(3)假设存在实数a～使f(x),ax,lnx(x?(0～e])有最小值3～则f′(x),a,,.xx4?当a?0时～f(x)在(0～e]上单调递减～f(x),f(e),ae,1,3～a,(舍去)～所以～mine此时f(x)的最小值不是3,111,,,，?当0<<e时～f(x)在0～上单调递减～在～e上单调递增～,,,，aaa12,,f(x),f,1，lna,3～a,e～满足条件,min,,a14?当?e时～f(x)在(0～e]上单调递减～f(x),f(e),ae,1,3～a,(舍去)～所以～minae此时f(x)的最小值不是3.2综上～存在实数a,e～使得当x?(0～e]时～f(x)有最小值3.1x(设函数f(x),x,,alnx.x22(1)若曲线y,f(x)在点(1，f(1))处的切线被圆x，y,1截得的弦长为2，求a的值;(2)若函数f(x)在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围;1(3)当a?2时，设函数g(x),x,lnx,，若在[1，e]上存在x，x使f(x)?g(x)成立，1212e求实数a的取值范围(解:由题意知～函数f(x)的定义域为(0～，?)(2,ax，1x1a(1)求导得～f′(x),1，,,～22xxx故f′(1),2,a～而f(1),0～故曲线y,f(x)在点(1～f(1))处的切线方程为y,0,(2,a)?(x,1)～即y,(2,a)(x,1)(故圆心到直线的距离|2,a|222,,d,,1,～22,,2，2,a，，，,1，|2,a|2即,～解得a,1或a,3.22，2,a，，1(2)因为函数f(x)在其定义域上为增函数～即f′(x)?0在(0～，?)上恒成立～1a1所以1，,?0恒成立～即a?x，.2xxx11又x，?2x×,2(当且仅当x,1时取等号)～故a的取值范围为(,?～2](xx(3)由在[1～e]上存在x～x使f(x)?g(x)成立～可知当x?[1～e]时～f(x)?g(x).1212maxmin1又因g′(x),1,～所以当x?[1～e]时～g′(x)?0～即函数g(x)在区间[1～e]上是单x调递增的函数～最小值为11g(1),1,ln1,,1,.ee2x,ax，12由(1)知f′(x),～因为x>0～又函数2x222y,x,ax，1的判别式Δ,(,a),4×1×1,a,4～(?)当a?[,2,2]时～Δ?0～则f′(x)?0恒成立～即函数f(x)在区间[1～e]上是单调递1增的函数～故函数f(x)在区间[1～e]上的最大值为f(e),e,,a～e11故有f(e)?g(1)～即e,,a?1,～解得a?e,1.ee又a?[,2,2]～所以a?[,2～e,1],(?)当a<,2时～Δ>0～f′(x),0的两根为22,4,4a,aa，ax,～x,～1222此时x<0～x<0.故函数f(x)在区间[1～e]上是单调递增的函数(由(?)知～a?e,1～又12a<,2～故a<,2.综上所述～a的取值范围为(,?～e,1](12xx1(设函数f(x),x，e,xe.2(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x?[,2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围(解:(1)函数f(x)的定义域为(,?～，?)～xxxx?f′(x),x，e,(e，xe),x(1,e)～x若x<0～则1,e>0～所以f′(x)<0,x若x>0～则1,e<0～所以f′(x)<0,f(x)在(,?～，?)上为减函数～?即f(x)的单调减区间为(,?～，?)((2)由(1)知～f(x)在[,2,2]上单调递减～2?f(x),f(2),2,e.min2?m<2,e时～不等式f(x)>m恒成立(22(设函数f(x),(x,a)lnx，a?R.(1)若x,e为y,f(x)的极值点，求实数a;2(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x?(0,3e]，恒有f(x)?4e成立(注:e为自然对数的底数)(解:(1)对f(x)求导～得2，x,a，f′(x),2(x,a)lnx，xa,,,(x,a)2lnx，1,.,,xa,,因为x,e是f(x)的极值点～所以f′(e),(e,a)?3,,0～解得a,e或a,3e.经检验,,ea,e符合题意～所以或a,3e.(2)(?)当0<x?1时～对于任意的实数a～恒有2f(x)?0<4e成立((?)当1<x?3e时～由题意～22f(3e),(3e,a)ln(3e)?4e～2e2e解得3e,?a?3e，.ln，3e，ln，3e，a,,由(1)知f′(x),(x,a)2lnx，1,～,,xa令h(x),2lnx，1,～x则h(1),1,a<0～h(a),2lna>0～2e3e，1aln，3e，，，ln，3e，,且h(3e),2ln(3e)，1,?2ln(3e)，1,,2>0.，，3e3e3ln，3e，又h(x)在(0～，?)内单调递增～所以函数h(x)在(0～，?)内有唯一零点～记此零点为x～则1<x<3e～001<x<a.0从而～当x?(0～x)时～f′(x)>0,0当x?(x～a)时～f′(x)<0,0当x?(a～，?)时～f′(x)>0～即f(x)在(0～x)内单调递增～在(x～a)内单调递减～在(a～，?)内单调递增(002所以要使f(x)?4e对x?(1,3e]恒成立～只要22,f，x，,，x,a，lnx?4e～?,000,恒成立(2f，3e，,，3e,a，ln，3e，?4e～?,,a由h(x),2lnx，1,,0～得a,2xlnx，x.?00000x023223将?代入?得4xlnx?4e.又x>1～注意到函数xlnx在[1～，?)内单调递增～故0001<x?e.0再由?以及函数2xlnx，x在(1～，?)内单调递增～可得1<a?3e.2e2e又3e,?a?3e，～ln，3e，ln，3e，2e所以3e,?a?3e.ln，3e，2e综上～a的取值范围为3e,?a?3e.ln，3e，alnxb3(已知函数f(x),，，曲线y,f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x，2y,3,0.x，1x(1)求a，b的值(lnxk(2)如果当x>0，且x?1时，f(x)>，，求k的取值范围(x,1xx，1,,,lnxa,,xb解:(1)f′(x),,.22，x，1，x1由于直线x，2y,3,0的斜率为,～且过点(1,1)～2f，1，,1～b,1～,,,,故即解得a,,,1～b,1.1a1f′，1，,,～,b,,～,,,,222lnx1(2)由(1)知f(x),，～x，1xlnxk,,，所以f(x),,,x,1x2，k,1，，x,1，1，，,2lnx，.2，，1,xx2，k,1，，x,1，设h(x),2lnx，(x>0)～则x2，k,1，，x，1，，2xh′(x),.2x22k，x，1，,，x,1，(?)设k?0～由h′(x),知～当x?1时～h′(x)<0～而h(1),0～2x1故当x?(0,1)时～h(x)>0～可得h(x)>0,21,x1当x?(1～，?)时～h(x)<0～可得h(x)>0.21,xlnxklnxk,,，从而当x>0～且x?1时～f(x),>0～即f(x)>，.,,x,1xx,1x1,,1～(?)设0<k<1～由于x?时～,,1,k2(k,1)(x，1)，2x>0～故h′(x)>0.1,,1～而h(1),0～故当x?时～,,1,k1(x)>0～可得hh(x)<0.与题设矛盾(21,x1(?)设k?1～此时h′(x)>0～而h(1),0～故当x?(1～，?)时～h(x)>0～可得21,xh(x)<0.与题设矛盾(综上所述～k的取值范围为(,?～0](第二节平面向量基本定理及坐标表示[备考方向要明了]考什么怎么考本节内容在高考中一般不单独命题,常常是结合向1.了解平面向量基本定理及其意量的其他知识命制综合性的小题,这些小题多属于义,中低档题,问题常常涉及以下几个方面:2.掌握平面向量的正交分解及坐(1)结合向量的坐标运算求向量的值,如x年重庆T6标表示,等,3.会用坐标表示平面向量的加(2)结合平面向量基本定理考查向量的线性表示,如法、减法不数乘运算,x年xT3等,4.理解用坐标表示的平面向量共线(3)结合向量的垂直与共线等知识，求解参数问题，如x的条件.年xT10等.[归纳?知识整合]1(两个向量的夹角(1)定义,,,,,,,,OAOB已知两个非零向量a和b，作,a，,b，则?AOB,θ叫做向量a与b的夹角((2)范围向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ,0;a与b反向时，夹角θ,π.(3)向量垂直π如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作a?b.22(平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理:如果e，e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有12且只有一对实数λ，λ，使a,λe，λe.121122其中，不共线的向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(12(2)平面向量的坐标表示:?在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a,xi，yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a,(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标(,,,,,,,,,,,,?设,xi，yj，则向量的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若,(x，y)，则AOAOAOA点坐标为(x，y)，反之亦成立((O是坐标原点)[探究]1.向量的坐标与点的坐标有何不同,提示:向量的坐标与点的坐标有所不同～相等向量的坐标是相同的～但起点、终点的,,,,坐标却可以不同～以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同(OA3(平面向量的坐标运算(1)若a,(x，y)，b,(x，y)，则a?b,(x?x，y?y);11221212,,,,(2)若A(x，y)，B(x，y)，则,(x,x，y,y);AB11222121(3)若a,(x，y)，则λa,(λx，λy);(4)若a,(x，y)，b,(x，y)，则a?b?xy,xy.11221221[探究]2.相等向量的坐标一定相同吗,相等向量起点和终点坐标可以不同吗,提示:相等向量的坐标一定相同～但是起点和终点的坐标可以不同(如A(3,5)～B(6,8)～,,,,,,,,,,,,,,,,CDCD则,(3,3),C(,5,3)～D(,2～6)～则,(3,3)～显然,～但A～B～C～DABAB四点坐标均不相同(xy113(若a,(x，y)，b,(x，y)，则a?b的充要条件能表示成,吗,1122xy22xy11提示:若a,(x～y)～b,(x～y)～则a?b的充要条件不能表示成,～因为x～y112222xy22有可能等于0～所以应表示为xy,xy,0.同时～a?b的充要条件也不能错记为xx,yy12211212,0～xy,xy,0等(1122[自测?牛刀小试]1(若向量a,(1,1)，b,(,1,0)，c,(6,4)，则c,()A(4a,2bB(4a，2bC(,2a，4bD(2a，4b解析:选A设c,λa，μb～则有(6,4),(λ～λ)，(,μ～0),(λ,μ～λ)～即λ,μ,6～λ,4～从而μ,,2～故c,4a,2b.2(下列各组向量中，能作为基底的组数为()?a,(,1,2)，b,(5,7);?a,(2，,3)，b,(4，,6);?a,(2，,3)，b,(x，,34)(A(0B(1C(2D(3解析:选C对?～由于,1×7,2×5?0～所以a与b不共线～故a～b可作为基底,对?～由于b,2a～a与b共线～不能作为基底,对?～由于,34×2，3×x?0～所以a与b不共线～故a～b可作为基底(3(设向量a,(m,1)，b,(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()A(,1B(1C(,2D(2,m,λ～,,解析:选A设a,λb～则1,mλ～,,即λ,?1～又?a与b共线且方向相反～?λ<0～即λ,,1.,,,,,,,,AC4((教材习题改编)在?ABCD中，AC为一条对角线，,(2,4)，,(1,3)，则向AB,,,,量的坐标为________(BD,,,,,,,,,,,,,,,,AC解析:设,(x～y)～?,，ADABAD?(1,3),(2,4)，(x～y)～,,1,2，x～x,,1～,,,,?即3,4，y～y,,1～,,,,,,,,?,(,1～,1)(AD,,,,,,,,,,,,?,,,(,1～,1),(2,4),(,3～,5)(BDADAB答案:(,3，,5)5(已知向量a,(2，,1)，b,(,1，m)，c,(,1,2)，若(a，b)?c，则m,________.解析:?a，b,(1～m,1)(?(a，b)?c～?2,(,1)(m,1),0～?m,,1.答案:,1平面向量基本定理的应用,,,,1[例1]如图所示，在?ABC中，点M是AB的中点，且,AN2,,,,,,,,,,,,，BN与CM相交于点E，设,a，,b，试用基底a，b表NCACAB,,,,示向量.AE,,,,,,,,,,,,,,,,,1111[自主解答]易得,,b～,,a～由N～E～B三点共线知～存ANACAMAB3322,,,,,,,,,,,,1在实数m～满足,m，(1,m),mb，(1,m)a.ANAEAB3,,,,,,,,,,,,,1由C～E～M三点共线知存在实数n～满足,n，(1,n),na，(1,n)b.ACAEAM211所以mb，(1,m)a,na，(1,n)b.32131,m,n～m,～,,25由于a～b为基底～所以解得,,14m,1,n～n,～,,35,,,,21所以,a，b.AE55———————————————————应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种:(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止;(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解(11.如图，在梯形ABCD中，AD?BC，且AD,BC，E，F分别为3,,,,,,,,BC线段AD与BC的中点(设,a，,b，试用a，b为基底表示向BA,,,,,,,,,,,,CD量EF，DF，.,,,,,,,,,,,,,,,,111解:EF,EA，AB，BF,,b,a，b,b,a～623,,,,,,,,,,,,111,,,，,,b，b,a,b,a～DFDEEF,,636,,,,,,,,,,,,121,,,，,,b,b,a,a,b.CDCFFD,,263平面向量的坐标运算,,,,,,,,,,,,[例2]已知A(,2,4)，B(3，,1)，C(,3，,4)(设,a，,b，,c，且BCCAAB,,,,,,,,,,3c，,,2b.求:CMCN(1)3a，b,3c;,,,,,(2)M、N的坐标及向量的坐标(MN[自主解答]由已知得a,(5～,5)～b,(,6～,3)～c,(1,8)((1)3a，b,3c,3(5～,5)，(,6～,3),3(1,8),(15,6,3～,15,3,24),(6～,42)(,,,,,,,,,,,,,,(2)?,,,3c～CMOMOC,,,,,,,,,?OM,3c，OC,(3,24)，(,3～,4),(0,20)(?M(0,20)(,,,,,,,,,,,,又?CNONOC,,,,2b～,,,,,,,,ONOC?,,2b，,(x,6)，(,3～,4),(9,2)～,,,,,MN?N(9,2)(?,(9～,18)(———————————————————平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标((2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用(,,,,,,,,,,,,,,,,11AC2(已知点A(,1,2)，B(2,8)以及,，,,，求点C、D的坐标和ABDABA33,,,,CD的坐标(解:设点C、D的坐标分别为(x～y)、(x～y)～1122,,,,,,,,AC得,(x，1～y,2)～AB,(3,6)～11,,,,,,,,,(,1,x2,y)～,(,3～,6)(DABA2,2,,,,,,,,,,,,,,,,11因为,～,,～ACABDABA33,,x，1,1,1,x,1～12,,,,所以有～和y,2,22,y,2.,,,,12,,x,0～x,,2～1,2,,,解得和y,4～y,0.,,,,12所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(,2,0)～,,,,从而,(,2～,4).CD平面向量共线的坐标表示[例3]平面内给定三个向量a,(3,2)，b,(,1,2)，c,(4,1)((1)求满足a,mb，nc的实数m，n;(2)若(a，kc)?(2b,a)，求实数k;(3)若d满足(d,c)?(a，b)，且|d,c|,5，求d.[自主解答](1)由题意得(3,2),m(,1,2)，n(4,1)～5m,～,,,m，4n,3～9,,所以得,2m，n,2～8,,n,.,9(2)?a，kc,(3，4k,2，k)～2b,a,(,5,2)～16?2×(3，4k),(,5)×(2，k),0.?k,,.13(3)设d,(x～y)～d,c,(x,4～y,1)～a，b,(2,4)～,4，x,4，,2，y,1，,0～,,由题意得22，x,4，,，，y,1，,5～,,,x,3～x,5～,,,,得或故d,(3～,1)或(5,3)(y,,1y,3.,,,,本例(2)成立的前提下，a，kc与2b,a是同向还是反向(16解:?由例题知～k,,.13162510,,?a，kc,(3,2),(4,1),,～～,,1313132b,a,(,2,4),(3,2),(,5,2)～5?a，kc,(2b,a)～135又?,0～?a，kc与2b,a同向(13———————————————————利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ?R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量((2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a,(x，y)，b,(x，y)，1122则a?b的充要条件是xy,xy”解题比较方便(12213((1)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB?DC，AD?BC.已知点A(,2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________((2)已知向量a,(m，,1)，b,(,1，,2)，c,(,1,2)，若(a，b)?c，则m,________.解析:(1)由条件中的四边形ABCD的对边分别平行～可以判断该四边形ABCD是平行,,,,,,,,四边形(设D(x～y)～则有,DC～即(6,8),(,2,0),(8,6),(x～y)～解得(x～y),(0～AB,2)～即D点的坐标为(0～,2)((2)由题意知a，b,(m,1～,3)～c,(,1,2)～(a，b)?c得(,3)×(,1),(m,1)×2,0～由5即2(m,1),3～所以m,.25答案:(1)(0，,2)(2)21个区别——向量坐标与点的坐标的区别,,,,OA在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量,a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向,,,,OA量a,,(x，y)(2种形式——向量共线的充要条件的两种形式(1)a?b?b,λa(a?0，λ?R);(2)a?b?xy,xy,0(其中a,(x，y)，b,(x，y))(122111223个注意点——解决平面向量共线问题应注意的问题(1)注意0的方向是任意的;(2)若a、b为非零向量，当a?b时，a，b的夹角为0?或180?，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错;xy11(3)若a,(x，y)，b,(x，y)，则a?b的充要条件不能表示成,，因为x，y有112222xy22可能等于0，所以应表示为xy,xy,0.1221易误警示——忽视向量平行的主要条件致误[典例](x?x高考)设向量a，b满足|a|,25，b,(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________(22[解析]设a,(x～y)～x,0～y,0～则x,2y,0且x，y,20～解得x,4～y,2(舍去)～或者x,,4～y,,2～即a,(,4～,2)([答案](,4，,2)[易误辨析]1(解答本题易误认为“a与b的方向相反?a?b”，致使出现增解(4,2)，而造成解题错误(2(解决此类问题常有混淆向量共线与向量垂直的充要条件致误([变式训练](已知向量a,(1,0)，b,(0,1)，c,ka，b(k?R)，d,a,b，如果c?d，那么()1A(k,1且c与d同向B(k,1且c与d反向C(k,,1且c与d同向D(k,,1且c与d反向解析:选D?a,(1,0)～b,(0,1)～若k,1～则c,a，b,(1,1)～d,a,b,(1～,1)(显然～c与d不平行～排除A、B.若k,,1～则c,,a，b,(,1,1)～,d,,a，b,(,1,1)～即c?d且c与d反向～排除C.112(若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab?0)共线，则，的值等于________(ab,,,,,,,,AC解析:,(a,2～,2)～,(,2～b,2)～依题意～有(a,2)(b,2),4,0～即ABab,2a,2b,0～111所以，,.ab21答案:2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分),,,,,,,,,,,,1((x?x高考)若向量,(2,3)，,(4,7)，则,()CABCBAA((,2，,4)B((2,4)C((6,10)D((,6，,10),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解析:选A由于,(2,3)，,(4,7)，那么,，,(2,3)，(,4，,7)CABCACBABA,(,2，,4)(,,,,,,,,,,,,2(如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且,a，,b，则ABADBE,()11A(b,aB(b，a2211C(a，bD(a,b22,,,,,,,,,,,,,,,,11解析:选A,，，,,a，b，a,b,a.BEBAADDE223((x?郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a,(1,2)，b,(m,3m,2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c,λa，μb(λ、μ为实数)，则m的取值范围是()A((,?，2)B((2，，?)C((,?，，?)D((,?，2)?(2，，?)3m,2解析:选D由题意知向量a～b不共线～故m?～解得m?2.2,,,,,,,,1ACCB4(已知A(7,1)、B(1,4)，直线y,ax与线段AB交于C，且,2，则实数a等2于()2B(1A(45C.D.53,,,,,,,,ACCB解析:选A设C(x～y)～则,(x,7～y,1)～,(1,x,4,y)～,,,,,,,,,x,7,2，1,x，～,,ACCB?,2～?y,1,2，4,y，～,,,x,3～,,解得?C(3,3)(y,3.,,1又?C在直线y,ax上～21?3,a?3～?a,2.25(已知点A(2,1)，B(0,2)，C(,2,1)，O(0,0)，给出下面的结论:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?直线OC与直线BA平行;?，,;?，,;?,BCCAOAOCOBACAB,,,,,,,,,2.OBOA其中正确结论的个数是()A(1B(2C(3D(42,1111解析:选C?由题意得k,,,～k,,,～?OC?BA～?正确,?OCBA,220,22,,,,,,,,,,,,，,～??错误,BCACAB,,,,,,,,,,,,?，,(0,2),～??正确,OAOCOB,,,,,,,,,,,,?,2,(,4,0)～,(,4,0)～??正确(OBOAAC((x?成都模拟)在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m,(3b,c，6cosC)，n,(a，cosA)，m?n，则cosA的值等于()33A.B.6433C.D.32解析:选Cm?n?(3b,c)cosA,acosC,0～再由正弦定理得3sinBcosA,sin3CcosA，cosCsinA?3sinBcosA,sin(C，A),sinB～即cosA,.3二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分),,,,,,,,,,,,PC7(在?ABC中，点P在BC上，且,2，点Q是AC的中点，若,(4,3)，BPPA,,,,,,,,BC,(1,5)，则,________.PQ,,,,,,,,,,,,解析:,,,(,3,2)～PAAQPQ,,,,,,,,AC?,2,(,6,4)(AQ,,,,,,,,,,,,PCAC,，,(,2,7)～PA,,,,,,,,BCPC?,3,(,6,21)(答案:(,6,21),,,,,,,,CACB8(在?ABC中，,a，,b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM,,,,交于点P，则AP,____________(用a，b表示)(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,221解析:如图所示～,，,,，,,，×(，),,ACCPCACNCACACBAP332,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,112121，，,,，,,a，b.CACACBCACB33333321答案:,a，b339(已知向量a,(3，1)，b,(0，,1)，c,(k，3)，若a,2b与c共线，则k,________.解析:a,2b,(3～1),2(0～,1),(3～3)～又?a,2b与c共线～?(a,2b)?c?3×3,3k,0～解得k,1.答案:1三、解答题(本大题共3小题，每小题x分，共36分)10(如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解:法一:由O～P～B三点共线～可设OPOBOPOA,λ,(4λ～4λ)～则,,AP,(4λ,4,4λ)(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ACOCOAAC又,,,(,2,6)～由与共线得(4λ,4)×6,4λ×(,2),0～解得λAP,,,,,,,,33OPOB,～所以,,(3,3)～44所以P点的坐标为(3,3)(,,,,,,,,,,,,,,,,xyOPOBOPOB法二:设P(x～y)～则,(x～y)～因为,(4,4)～且与共线～所以,～44即x,y.,,,,,,,,,,,,,,,,ACAC又,(x,4～y)～,(,2,6)～且与共线～APAP所以(x,4)×6,y×(,2),0～解得x,y,3～所以P点的坐标为(3,3)(,,,,,,,,,,,,OPOAx(已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及,，t，试问:AB(1)t为何值时，P在x轴上,在y轴上,P在x象限,(2)四边形OABP能否成为平行四边形,若能，求出相应的t值;若不能，请说明理由(,,,,,,,,OA解:(1)?,(1,2)～AB,(3,3)～,,,,,,,,,,,,?,，t,(1，3t,2，3t)(OPOAAB2若点P在x轴上～则2，3t,0～解得t,,,31若点P在y轴上～则1，3t,0～解得t,,,3,1，3t<0～,2,若点P在x象限～则.解得t<,32，3t<0.,,(2)不能～若四边形OABP成为平行四边形～,,,,,,,,,1，3t,3～,,则,～即OPAB2，3t,3.,,?该方程组无解～?四边形OABP不能成为平行四边形(x(若平面向量a、b满足|a，b|,1，a，b平行于x轴，b,(2，,1)，求a的坐标(解:设a,(x～y)～?b,(2～,1)～?a，b,(x，2～y,1)(又?a，b平行于x轴～?y,1,0～得y,1～?a，b,(x，2,0)(又?|a，b|,1～?|x，2|,1～?x,,1或x,,3～?a,(,1,1)或a,(,3,1)(1(已知a，a，„，a,0，且a,(3,4)，则a，a，„，a的坐标为(),12nn12n1A((4,3)B((,4，,3)C((,3，,4)D((,3,4)解析:选C?a，a，„，a,0～12n?(a，a，„，a),,a,(,3～,4)(,12n1n2(若α，β是一组基底，向量γ,x?α，y?β(x，y?R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p,(1，,1)，q,(2,1)下的坐标为(,2,2)，则a在另一组基底m,(,1,1)，n,(1,2)下的坐标为()A((2,0)B((0，,2)C((,2,0)D((0,2)解析:选D由题意～a,,2p，2q,(,2,2)，(4,2),(2,4)(设a在基底m～n下的坐标为(λ～μ)～则a,λ(,1,1)，μ(1,2