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一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业62几何概型〖基础达标〗一、选择题1.〖2021·武汉调研〗在长为16cm的线段MN上任取一点P,以MP、NP为邻边作一矩形,则该矩形的面积大于60cm2的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,4)2.如图所示,矩形ABCD中,点E为边AB的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△AED或△BEC内部的概率等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,3)3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()A.eq\f(π,12)B.1-eq\f(π,12)C.eq\f(π,6)D.1-eq\f(π,6)4.〖2021·河北九校联考〗如图,矩形的长为6,宽为4,在矩形内随机撒300颗黄豆,落在椭圆外的黄豆数为96,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为()A.16.32B.15.32C.8.68D.7.685.〖2021·郑州市高中毕业年级质量预测〗“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷2000个点,已知恰有800个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是()A.eq\f(16,5)B.eq\f(18,5)C.10D.eq\f(32,5)二、填空题6.〖2021·大同市高三学情调研测试试题〗中国象棋是中华文化的瑰宝,中国象棋棋盘上的“米”字形方框叫做九宫,取意后天八卦中的九星方位图.现有一张中国象棋棋盘如图所示.若在该棋盘矩形区域内(其中楚河—汉界宽度等于每个小格的边长)随机取一点,该点落在九宫内的概率是________.7.在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥S-APC的体积大于eq\f(V,3)的概率是________.8.〖2021·广东东莞调研〗已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y),当x,y∈R时,点P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率为________.三、解答题9.已知关于x的一次函数y=kx+b(x∈R).(1)设集合P={-1,1,2,3},从集合P中随机取一个数作为k,求函数y=kx+b是减函数的概率;(2)实数对(k,b)满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k+b-1≤0,,0<k<1,,-1≤b≤1.))求函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率.10.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a+b≤3”为事件A,求事件A的概率;②在区间〖0,2〗内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.〖能力挑战〗11.〖2021·福州四校联考〗如图,在圆心角为90°的扇形AOB中,以圆心O为起点在eq\x\to(AB)上任取一点C作射线OC,则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,6)12.〖2021·唐山市高三年级摸底考试〗右图由一个半圆和一个四分之一圆构成,其中空白部分为二者的重合部分,两个阴影部分分别标记为A和M.在此图内任取一点,此点取自A区域的概率记为P(A),取自M区域的概率记为P(M),则()A.P(A)>P(M)B.P(A)<P(M)C.P(A)=P(M)D.P(A)与P(M)的大小关系与半径有关13.〖2021·山西省六校高三阶段性测试〗如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种,AC,CD,DB是以AB为直径的圆的内接正六边形的三条邻边,四个半圆的直径分别是AB,AC,CD,DB,在整个图形中随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.eq\f(6\r(3)-π,6\r(3)+3π)B.eq\f(6\r(3)+π,6\r(3)+3π)C.eq\f(2\r(3),2\r(3)+π)D.eq\f(6\r(3)-2π,6\r(3)+3π)课时作业621.〖解析〗设MP=x,则NP=16-x,由x(16-x)>60,解得6<x<10,所以所求概率P=eq\f(10-6,16)=eq\f(1,4),故选A.〖答案〗A2.〖解析〗点Q取自△AED或△BEC内部的概率P=eq\f(S△AED+S△BEC,S矩形ABCD)=eq\f(1,2).故选A.〖答案〗A3.〖解析〗点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球外.记“点P到点O的距离大于1”为事件M,则P(M)=eq\f(23-\f(1,2)×\f(4π,3)×13,23)=1-eq\f(π,12).〖答案〗B4.〖解析〗由题意,可估计椭圆的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(96,300)))×6×4=16.32.故选A.〖答案〗A5.〖解析〗由几何概型知eq\f(S阴影,S正方形)=eq\f(800,2000),又S正方形=3×3=9,所以S阴影=eq\f(18,5).故选B.〖答案〗B6.〖解析〗设每个小正方形的边长为1,则棋盘的总面积为72,两个九宫的面积为8,所以若在棋盘内随机取一点,该点落在九宫内的概率P=eq\f(8,72)=eq\f(1,9).〖答案〗eq\f(1,9)7.〖解析〗由题意可知eq\f(VS-APC,VS-ABC)>eq\f(1,3),三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.作PM⊥AC于M,BN⊥AC于N,则PM,BN分别为ΔAPC与△ABC的高,所以eq\f(VS-APC,VS-ABC)=eq\f(S△APC,S△ABC)=eq\f(PM,BN)>eq\f(1,3),又eq\f(PM,BN)=eq\f(AP,AB),所以eq\f(AP,AB)>eq\f(1,3).故所求的概率为eq\f(2,3)(即为长度之比).〖答案〗eq\f(2,3)8.〖解析〗如图,点P所在的区域为正方形ABCD上及其内部,(x-2)2+(y-2)2≤4表示的是以C(2,2)为圆心,2为半径的圆上的点及其内部的点,故所求概率为eq\f(\f(1,4)×π×22,4×4)=eq\f(π,16).〖答案〗eq\f(π,16)9.〖解析〗(1)从集合P中随机取一个数作为k的所有可能结果有4种,满足函数y=kx+b是减函数的情形是k=-1,则所求概率P=eq\f(1,4).(2)因为k>0,函数y=kx+b的图象不经过第四象限的条件是b≥0.作出(k,b)对应的平面区域如图中的梯形ABCD(不含b轴),其面积是S1=eq\f(1+2·1,2)=eq\f(3,2),符合限制条件的(k,b)对应的平面区域如图中的三角形BOC,其面积是S2=eq\f(1,2),故所求概率P=eq\f(S2,S1)=eq\f(1,3).10.〖解析〗(1)依题意共有(n+2)个小球,则从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率为eq\f(n,n+2)=eq\f(1,2),∴n=2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果,而满足2≤a+b≤3的结果有8种,故P(A)=eq\f(8,12)=eq\f(2,3).②易知(a-b)2≤4,故待求概率的事件即为“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},由几何概型得概率P=eq\f(4-\f(1,4)π·22,4)=1-eq\f(π,4).11.〖解析〗记事件T是“作射线OC,使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”,如图,记eq\x\to(AB)的三等分点为M,N,连接OM,ON,则∠AON=∠BOM=∠MON=30°,则符合条件的射线OC应落在扇形MON中,所以P(T)=eq\f(∠MON,∠AOB)=eq\f(30°,90°)=eq\f(1,3),故选A.〖答案〗A12.〖解析〗不妨设四分之一圆的半径为1,则半圆的半径为eq\f(\r(2),2).记A区域的面积为S1,M区域的面积为S2,则S2=eq\f(1,2)π×(eq\f(\r(2),2))2-(eq\f(1,4)π×12-S1)=S1,所以P(A)=P(M),故选C.〖答案〗C13.〖解析〗解法一设AB=4,则由题意得AC=CD=DB=2,整个图形的面积为四边形ABDC的面积加上三个小半圆的面积,即eq\f(1,2)×(2+4)×eq\r(3)+3×eq\f(1,2)×π×12=3eq\r(3)+eq\f(3π,2),阴影部分的面积为整个图形的面积减去大半圆的面积,即3eq\r(3)+eq\f(3π,2)-eq\f(1,2)×π×22=3eq\r(3)-eq\f(π,2),由几何概型的概率计算公式,得所求概率P=eq\f(3\r(3)-\f(π,2),3\r(3)+\f(3π,2))=eq\f(6\r(3)-π,6\r(3)+3π),故选A.解法二如图,取AB的中点O,连接OC,OD,则该图形被平均分成了三部分,每一部分的面积等于一个三角形的面积加上一个小半圆的面积.设AB=4,则由题意得每一部分的面积为eq\f(\r(3),4)×22+eq\f(1,2)×π×12=eq\r(3)+eq\f(π,2),每一部分中阴影部分的面积为eq\r(3)+eq\f(π,2)-eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22=eq\r(3)-eq\f(π,6),由几何概型的概率计算公式,得所求概率P=eq\f(\r(3)-\f(π,6),\r(3)+\f(π,2))=eq\f(6\r(3)-π,6\r(3)+3π),故选A.〖答案〗A课时作业62几何概型〖基础达标〗一、选择题1.〖2021·武汉调研〗在长为16cm的线段MN上任取一点P,以MP、NP为邻边作一矩形,则该矩形的面积大于60cm2的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,4)2.如图所示,矩形ABCD中,点E为边AB的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△AED或△BEC内部的概率等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,3)3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()A.eq\f(π,12)B.1-eq\f(π,12)C.eq\f(π,6)D.1-eq\f(π,6)4.〖2021·河北九校联考〗如图,矩形的长为6,宽为4,在矩形内随机撒300颗黄豆,落在椭圆外的黄豆数为96,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为()A.16.32B.15.32C.8.68D.7.685.〖2021·郑州市高中毕业年级质量预测〗“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷2000个点,已知恰有800个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是()A.eq\f(16,5)B.eq\f(18,5)C.10D.eq\f(32,5)二、填空题6.〖2021·大同市高三学情调研测试试题〗中国象棋是中华文化的瑰宝,中国象棋棋盘上的“米”字形方框叫做九宫,取意后天八卦中的九星方位图.现有一张中国象棋棋盘如图所示.若在该棋盘矩形区域内(其中楚河—汉界宽度等于每个小格的边长)随机取一点,该点落在九宫内的概率是________.7.在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥S-APC的体积大于eq\f(V,3)的概率是________.8.〖2021·广东东莞调研〗已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y),当x,y∈R时,点P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率为________.三、解答题9.已知关于x的一次函数y=kx+b(x∈R).(1)设集合P={-1,1,2,3},从集合P中随机取一个数作为k,求函数y=kx+b是减函数的概率;(2)实数对(k,b)满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k+b-1≤0,,0<k<1,,-1≤b≤1.))求函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率.10.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a+b≤3”为事件A,求事件A的概率;②在区间〖0,2〗内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.〖能力挑战〗11.〖2021·福州四校联考〗如图,在圆心角为90°的扇形AOB中,以圆心O为起点在eq\x\to(AB)上任取一点C作射线OC,则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,6)12.〖2021·唐山市高三年级摸底考试〗右图由一个半圆和一个四分之一圆构成,其中空白部分为二者的重合部分,两个阴影部分分别标记为A和M.在此图内任取一点,此点取自A区域的概率记为P(A),取自M区域的概率记为P(M),则()A.P(A)>P(M)B.P(A)<P(M)C.P(A)=P(M)D.P(A)与P(M)的大小关系与半径有关13.〖2021·山西省六校高三阶段性测试〗如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种,AC,CD,DB是以AB为直径的圆的内接正六边形的三条邻边,四个半圆的直径分别是AB,AC,CD,DB,在整个图形中随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.eq\f(6\r(3)-π,6\r(3)+3π)B.eq\f(6\r(3)+π,6\r(3)+3π)C.eq\f(2\r(3),2\r(3)+π)D.eq\f(6\r(3)-2π,6\r(3)+3π)课时作业621.〖解析〗设MP=x,则NP=16-x,由x(16-x)>60,解得6<x<10,所以所求概率P=eq\f(10-6,16)=eq\f(1,4),故选A.〖答案〗A2.〖解析〗点Q取自△AED或△BEC内部的概率P=eq\f(S△AED+S△BEC,S矩形ABCD)=eq\f(1,2).故选A.〖答案〗A3.〖解析〗点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球外.记“点P到点O的距离大于1”为事件M,则P(M)=eq\f(23-\f(1,2)×\f(4π,3)×13,23)=1-eq\f(π,12).〖答案〗B4.〖解析〗由题意,可估计椭圆的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(96,300)))×6×4=16.32.故选A.〖答案〗A5.〖解析〗由几何概型知eq\f(S阴影,S正方形)=eq\f(800,2000),又S正方形=3×3=9,所以S阴影=eq\f(18,5).故选B.〖答案〗B6.〖解析〗设每个小正方形的边长为1,则棋盘的总面积为72,两个九宫的面积为8,所以若在棋盘内随机取一点,该点落在九宫内的概率P=eq\f(8,72)=eq\f(1,9).〖答案〗eq\f(1,9)7.〖解析〗由题意可知eq\f(VS-APC,VS-ABC)>eq\f(1,3),三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.作PM⊥AC于M,BN⊥AC于N,则PM,BN分别为ΔAPC与△ABC的高,所以eq\f(VS-APC,VS-ABC)=eq\f(S△APC,S△ABC)=eq\f(PM,BN)>eq\f(1,3),又eq\f(PM,BN)=eq\f(AP,AB),所以eq\f(AP,AB)>eq\f(1,3).故所求的概率为eq\f(2,3)(即为长度之比).〖答案〗eq\f(2,3)8.〖解析〗如图,点P所在的区域为正方形ABCD上及其内部,(x-2)2+(y-2)2≤4表示的是以C(2,2)为圆心,2为半径的圆上的点及其内部的点,故所求概率为eq\f(\f(1,4)×π×22,4×4)=eq\f(π,16).〖答案〗eq\f(π,16)9.〖解析〗(1)从集合P中随机取一个数作为k的所有可能结果有4种,满足函数y=kx+b是减函数的情形是k=-1,则所求概率P=eq\f(1,4).(2)因为k>0,函数y=kx+b的图象不经过第四象限的条件是b≥0.作出(k,b)对应的平面区域如图中的梯形ABCD(不含b轴),其面积是S1=eq\f(1+2·1,2)=eq\f(3,2),符合限制条件的(k,b)对应的平面区域如图中的三角形BOC,其面积是S2=eq\f(1,2),故所求概率P=eq\f(S2,S1)=eq\f(1,3).10.〖解析〗(1)依题意共有(n+2)个小球,则从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率为eq\f(n,n+2)=eq\f(1,2),∴n=2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果,而满足2≤a+b≤3的结果有8种,故P(A)=eq\f(8,12)=eq\f(2,3).②易知(a-b)2≤4,故待求概率的事件即为“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},由几何概型得概率P=eq\f(4-\f(1,4)π·22,4)=1-eq\f(π,4).11.〖解析〗记事件T是“作射线OC,使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”,如图,记eq\x\to(AB)
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