湖南省株洲市实验学校高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省株洲市实验学校高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，若，则实数的取值范围是

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C2.设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数：

,取函数.当时，函数在下列区间上单调递减的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.执行如图所示的程序框图，输出的T=（

）A．21

B．43

C．53

D．64参考答案：B执行程序框图，有S=4，n=1，T=3，不满足条件T＞2S，S=7，n=2，T=7，不满足条件T＞2S，S=10，n=3，T=13，不满足条件T＞2S，S=13，n=4，T=21，不满足条件T＞2S，S=16，n=5，T=31不满足条件,S=19,n=6,T=43满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为43．故选：B．

4.用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为

（）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.已知集合,集合,则集合等于(

)A.B.C.D.参考答案：A6.在复平面内，复数对应的点在Ａ、第一象限 Ｂ、第二象限 Ｃ、第三象限 Ｄ、第四象限参考答案：D7.某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117

B．118

C．118．5

D．119．5参考答案：B略8.设下列关系式成立的是(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：A9.设函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R）在区间（0，2）上有两个极值点，则a的取值范围是（）A． B．C．

D．参考答案：D【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】方法一：求导f′（x）=lnx﹣2ax+1，由关于x的方程a=在区间（0，+∞）由两个不相等的实根，构造辅助函数，根据函数单调性即可求得a取值范围；方法二：由题意，关于x的方程2ax=lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根，则y=2ax与y=lnx+1有两个交点，根据导数的几何意义，即可求得a的取值范围．【解答】解：方法一：f（x）=x（lnx﹣ax），求导f′（x）=lnx﹣2ax+1，由题意，关于x的方程a=在区间（0，+∞）由两个不相等的实根，令h（x）=，h′（x）=﹣，当x∈（0，1）时，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）单调递减，当x→+∞时，h（x）→0，由图象可知：函数f（x）=x（lnx﹣ax），在（0，2）上由两个极值，只需＜a＜，故D．方法二：f（x）=x（lnx﹣ax），求导f′（x）=lnx﹣2ax+1，由题意，关于x的方程2ax=lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根，则y=2ax与y=lnx+1有两个交点，由直线y=lnx+1，求导y′=，设切点（x0，y0），=，解得：x0=1，∴切线的斜率k=1，则2a=1，a=，则当x=2，则直线斜率k=，则a=，∴a的取值范围（，），故选D．10.已知为直线的倾斜角，若，则直线的斜率为(

)A．3

B．-4

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某小区共有1500人，其中少年儿童，老年人，中青年人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么老年人被抽取了

人参考答案：20略12.阅读右侧程序框图，则输出的数据为________.参考答案：第一次运算，；第二次运算，；第三次运算，；第四次运算，；第五次运算，；第六次不条件，输出.13.如图,要测量河对岸两点间的距离，在河边一侧选定两点，测出的距离为，,,,.则两点之间的距离为

.参考答案：14.汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用＝年均成本费用＋年均维修费），设某种汽车的购车的总费用为50000元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前年的总维修费满足,已知第一年的总维修费为1000元,前两年的总维修费为3000元,则这种汽车的最佳使用年限为

年.参考答案：10略15.已知函数，若，则实数x的取值范围___________.参考答案：略16.若，则的最小值为．参考答案：由得，因为，所以，根据均值定理得，当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为1.17.已知函数，则的值等于_______．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆C:的离心率为，其左、右焦点分别为、，点是坐标平面内一点，且，，其中为坐标原点.⑴求椭圆C的方程；⑵如图，过点，且斜率为的动直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：解：(1)设，由可知①(1分)又，，即②

(2分)①代入②得：.又，可得，故所求椭圆方程为

(4分)(2)设直线，代入，有.设，则.

(6分)若轴上存在定点满足题设，则，，

(9分)由题意知，对任意实数都有恒成立，

即对成立.解得，

(11分)在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点.

(12分)19.（本题满分12分）已知．（Ⅰ）求的最大值及取得最大值时的值；（Ⅱ）在中，角，，的对边分别为若，，，求的面积．参考答案：（Ⅰ）．

……2分当，即，时，函数取得最大值2．……4分（Ⅱ）由，得，∵，∴，解得．

……6分因为，根据正弦定理，得，

……8分由余弦定理，有，则，解得，，

……10分故△ABC的面积．

……12分20.横峰中学的平面示意图如图所示的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为学校主要道路(不考虑宽度)，。(1)求道路BE的长度；(2)求生活区ABE面积的最大值。参考答案：(1)；(2)。【分析】（1）连接，在中，由余弦定理求得，再在直角中，利用勾股定理，即可求解.（2）设，在中，由正弦定理可得，利用面积公式和三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）如图所示，连接，在中，由余弦定理可得，解得，因为,所以又由，所以,在直角中，,（2）设，因为，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以当且仅当时，即时，取得最大面积，即生活区面积的最大值为.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.21.设函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记函数f（x）的最小值为g（a），证明：．参考答案：（1）显然的定义域为．．∵，，∴若，，此时，在上单调递减；若，，此时，在上单调递增；综上所述：在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知：，即．要证，即证明，即证明，令，则只需证明，∵，且，∴当，，此时，在上单调递减；当，，此时，在上单调递增，∴．∴．∴．22.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，且侧面PAD⊥平面PBC，侧面PAD∩平面PBC=l，△PDC为正三角形，CD=2.（1）求证：l∥BC；（2）求直线AB与平面PAD所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）因为，所以平面；…2分又因为平面且平面平面，由线面平行的性质定理知.…7分

（Ⅱ）过作交于，所以.因为侧面