广东省河源市黄沙中学高一数学理测试题含解析

广东省河源市黄沙中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(

)A.400，40 B.200，10 C.400，80 D.200，20参考答案：A【分析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.2.已知扇形的弧长为4cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为(A)

4cm2

(B)6cm2 (C)8cm2 (D)16cm2参考答案：A

3.已知a=log0.50.6，b=log1.20.8，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系是(

)A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a参考答案：B4.设集合A={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（）A．11 B．10 C．16 D．15参考答案：C【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】解出集合B中的不等式，然后列举出两集合中的元素，求出两集合的并集，即可得到并集中元素的个数．【解答】解：由集合A中的条件可得A中的元素有：﹣10，﹣9，﹣8，…，﹣1共10个；集合B中的不等式|x|≤5解得﹣5≤x≤5且x∈Z，所以B中的元素有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5共11个所以A∪B中的元素有：﹣10，﹣9，﹣8，…，﹣1，0，1，2，3，4，5共16个故选C【点评】本题属于以不等式的整数解为平台，考查了并集的运算，是高考中常考的题型．5.已知图①的图象对应函数，则在下列给出的四式中，图②的图象对应的函数只可能是 （

）A.

B.

C. D.

图

图参考答案：C略6.在中，分别为角的对边，若，则的形状（

）A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形参考答案：B略7.已知的图象如图，则函数的图象可能为

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.下列关系式中，正确的关系式有几个

（

）

1）∈Q

2）0N

3）{1，2}

4)={0}

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B略9.某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是A.至少有一次中靶 B.只有一次中靶C.两次都中靶 D.两次都不中靶参考答案：C【分析】至多有一次的反面是至少有两次.【详解】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次.选C.【点睛】本题考查对立事件的概念，解题关键是掌握至少、至多等词语的否定.

10.已知向量，满足||=1，=（1，），且⊥（+），则与的夹角为（）A．60° B．90° C．120° D．150°参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意可得||，由垂直可得?（+）=0，由数量积的运算代入数据可得夹角的余弦值，可得夹角．【解答】解：设与的夹角为α，∵||=1，=（1，），∴||==2，又⊥（+），∴?（+）=0，∴=12+1×2cosα=0，解得cosα=，∴α=120°故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.光线从A(1，0)出发经y轴反射后到达圆所走过的最短路程为

．参考答案：12.如果角θ的终边经过点（﹣，），则sinθ=

．参考答案：【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由角θ的终边经过点（﹣，），可得x=﹣，y=，r=1，再利用任意角的三角函数的定义求得sinθ的值．【解答】解：∵角θ的终边经过点（﹣，），∴x=﹣，y=，r=1，∴sinθ==，故答案为：．13.已知函数定义域为，值域为，则＝

▲

.参考答案：3略14.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象（如图所示），则f（x）的解析式为．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值2，求出φ，得到函数的解析式，即可得解．【解答】解：由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，可得：ω==2，由于：当x=时取得最大值2，所以：2=2sin（2×+φ），可得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜π，所以：φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+）．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．15.等差数列{an}的首项a1=1，且a2是a1和a6的等比中项，那么公差d=_________．参考答案：0或316.若总体中含有1650个个体，现在要采用系统抽样，从中抽取一个容量为35的样本，分段时应从总体中随机剔除

个个体，编号后应均分为35段，每段有个个体。参考答案：5,47略17.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为

参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.计算下列各式：（1）；

（4分）（2）；

（4分）参考答案：（1）；（2）6；19.已知函数f（x）的定义域为R，若对于任意的实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．（Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅲ）设f（1）=1，若f（x）＜m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【分析】（Ⅰ）f（x）为奇函数，根据对于任意的实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），分别令x=y=0，x=﹣y，可证得结论；（Ⅱ）f（x）为单调递增函数，根据增函数的定义，可证得结论；（Ⅲ）设f（1）=1，若f（x）＜m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只要m2﹣2am+1＞1，即m2﹣2am＞0恒成立．进而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）为奇函数，理由如下：由题意知：f（x+y）=x+y，令x=y=0，得f（0）=0设x=﹣y，得f（0）=f（x）+f（﹣x）所以f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f（x）为单调递增函数，理由如下：由题意知f（x）是定义在R上的奇函数，设x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1），当x＞0时，有f（x）＞0，所以f（x2）＞f（x1），故f（x）在R上为单调递增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（2）知f（x）在[﹣1，1]上为单调递增函数，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，所以要使f（x）＜m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只要m2﹣2am+1＞1，即m2﹣2am＞0恒成立．令g（a）=m2﹣2am=﹣2am+m2，则，即，解得m＞2或m＜﹣2．故实数m的取值范围是m＞2或m＜﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.己知函数f（x）=loga（3x+1），g（x）=loga（1﹣3x），（a＞0且a≠1）．（1）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的定义域；（2）判断F（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由4；（3）确定x为何值时，有f（x）﹣g（x）＞0．参考答案：【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）由真数大于零即可列出方程组，解出即可；（2）由F（﹣x）=loga（﹣3x+1）﹣loga（1+3x）=﹣F（x），再结合定义域即能得出答案．（3）不等式f（x）﹣g（x）＞0转化为loga（3x+1）＞loga（1﹣3x），然后分当a＞1时和0＜a＜1两种情况进行讨论，利用对数函数的单调性列出方程组即得答案．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=loga（3x+1）﹣loga（1﹣3x），∴，解得．∴F（x）=f（x）﹣g（x）的定义域是（﹣，）．（2）由（1）知F（x）定义域关于原点对称，∵F（x）=loga（3x+1）﹣loga（1﹣3x），F（﹣x）=loga（﹣3x+1）﹣loga（1+3x）=﹣F（x）．∴F（x）=f（x）﹣g（x）是奇函数．（3）∵f（x）﹣g（x）＞0，∴f（x）＞g（x），即loga（3x+1）＞loga（1﹣3x），①当a＞1时，，解得0＜x＜．②当0＜a＜1时，，解得﹣．综上所述：当a＞1时，f（x）﹣g（x）＞0的解是0＜x＜．当0＜a＜1时，f（x）﹣g（x）＞0的解是﹣．【点评】本题考查了对数函数的定义域，单调性及奇偶性的判断和分情况讨论思想．属于基础题．21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求点M到平面PBC的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设PB的中点为Q，连接AQ，NQ，由三角形中位线定理结合已知可得四边形AMNQ为平行四边形，得到MN∥AQ．再由线面平行的判定可得MN∥平面PAB；（2）在Rt△PAB，Rt△PAC中，由已知求解直角三角形可得PE==，进一步得到S△PBC．然后利用等积法求得点M到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：设PB的中点为Q，连接AQ，NQ；∵N为PC的中点，Q为PB的中点，∴QN∥BC且QN=BC=2，又∵AM=2MD，AD=3，∴AM=AD=2且AM∥BC，∴QN∥AM且QN=AM，∴四边形AMNQ为平行四边形，∴MN∥AQ．又∵AQ?平面PAB，MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB；（2）解：在R