上海市龚路中学高三数学文期末试卷含解析

上海市龚路中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B2.已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为(

)A．（，） B．（，11） C．（，12） D．（6，l2）参考答案：B【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，结合图象求出a+b+c的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，a∈（，1）b∈（1，3），c∈（3，9），由图象可知，当a变大时，b变小，c也变大，a+b+c=1+1+9=11当a变小时，b变大，c也变小，=故a+b+c的取值范围为（，11）故选：B．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．3.已知命题p：函数在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数在上是减函数，若p且为真命题，则实数a的取值范围是（

）A．

B．a≤2

C．1<a≤2

D．a≤l或a>2参考答案：C4.（文科）三个数的大小关系是

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.在射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击至少有一次没有击中目标”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q参考答案：A【考点】容斥原理；复合命题的真假．【分析】由已知，结合容斥定理，可得答案．【解答】解：∵命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，∴命题“两次射击至少有一次没有击中目标”（￢p）∨（￢q），故选：A6.抛物线的弦与过弦的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的断点的来两条切线的交点在其准线上，设抛物线，弦过焦点，且其阿基米德三角形，则的面积的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.若复数满足，是虚数单位，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略8.

等于

（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：答案：B8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于A． B．

C． D．参考答案：D10.已知，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则圆上点到直线的最短距离为

。参考答案：12.已知是第三象限角，则=

.参考答案：略13.若函数，则=．参考答案：0略14.已知线段两个端点,直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围为________________.参考答案：【知识点】直线的斜率

H1【答案解析】作出如下的示意图：

要使直线与线段相交，直线的斜率需满足，由已知：，则的斜率的取值范围为，故答案为：【思路点拨】画出示意图，由图可知满足条件的斜率的取值范围是，由直线的斜率公式计算出即可。15.如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S=．参考答案：﹣4略16.定义下凸函数如下：设f（x）为区间I上的函数，若对任意的x1，x2∈I总有f（）≥，则称f（x）为I上的下凸函数，某同学查阅资料后发现了下凸函数有如下判定定理和性质定理：判定定理：f（x）为下凸函数的充要条件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）为f（x）的导函数f′（x）的导数．性质定理：若函数f（x）为区间I上的下凸函数，则对I内任意的x1，x2，…，xn，都有≥f（）．请问：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数f（x）=sinx，x∈（0，π），求导，则f″（x）≤﹣sinx，由正弦函数的图象可知f″（x）＜0成立，则f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函数，根据凸函数的性质sinA+sinB+sinC≤3sin（），即可求得sinA+sinB+sinC的最大值．【解答】解：设f（x）=sinx，x∈（0，π），则f′（x）=cosx，则f″（x）≤﹣sinx，x∈（0，π），由当x∈（0，π），0＜sin≤1，则f″（x）＜0成立，则f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函数，由凸函数的性质可知：≤f（）．则sinA+sinB+sinC≤3sin（）=3×sin=，∴sinA+sinB+sinC的最大值为，故答案为：．17.在边长为1的正三角形ABC中，，则的值等于

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4－5：不等式选讲

已知，．

（1）求证：，；

（2）若，求证：．参考答案：证明：（I）∵，∴，即，

…………（2分）同理，∴，

…………（4分）∵，∴；

…………（5分）（II），…………（8分）∵，∴，∴

…………（10分）19.（I）解不等式（II），证明：参考答案：解：（I）

或

或得不等式解为

（II）证明：∴

略20.（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（1）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求的概率；（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值．（只需写出结论）（注：方差，其中为，，…，的平均数）参考答案：（1）；（2）；（3）.数为，∴，解得，∴和取值共有种情况，它们是：，，，，，，，，，其中有种情况，它们是：，，，，∴的概率；（3）分析题意可知，的可能取值为的整数，计算可得时，达到最小值.考点：1.古典概型求概率；2.概率统计的运用.21.设(Ⅰ)若对一切恒成立,求的最大值.(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.参考答案：略22.(本小题满分15分)已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对∈（