湖南省长沙市第三十二中学高三数学理月考试题含解析

湖南省长沙市第三十二中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知数列{an}中满足a1=15，=2，则的最小值为（）A．10B．2﹣1C．9D．参考答案：D考点：数列递推式．

专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得an+1﹣an=2n，从而an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=n2﹣n+15，进而=n+﹣1，由此能求出当且仅当n=，即n=4时，取最小值4+=．解答：解：∵数列{an}中满足a1=15，=2，∴an+1﹣an=2n，∴an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=15+2+4+6+8+…+2（n﹣1）=15+=n2﹣n+15，∴=n+﹣1≥2﹣1，∴当且仅当n=，即n=4时，取最小值4+=．故选：D．点评：本题考查的最小值的求法，是中档题，解题时要注意累加法和均值定理的合理运用．3.过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程为（

）A. B.C. D.参考答案：A4.某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为，其中为常数，表示时间（单位：小时），表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为

A.640

B.1280

C.2560

D.5120

参考答案：D略5.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0 D．3x±4y=0参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】可用筛选，由4x±3y=0得y=±x，取a=3，b=4，则c=5，满足a+c=2b．【解答】解：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c，右焦点到渐近线y=±x距离为d==b，所以有：a+c=2b，取a=3，b=4，得4x±3y=0，整理得y=±x，则c=5，满足a+c=2b．故选：C．6.若，则“”是的“”（

）A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件参考答案：A7.已知函数，则不等式的解集是A．

B．

C．

D．参考答案：解析：依题意得

或所以，选C．8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=A． B． C． D．参考答案：C解答：，又，故，∴.故选C.

9.(2015·江西省南昌二中月考)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点(包括端点)，则的取值范围是()A．[1,2] B.[0,1]C．[0,2] D.[－5,2]参考答案：D10.“”是“”的……（

）．充分非必要条件

．必要非充分条件

．充分必要条件

．既非充分又非必要条件参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从编号为001，002，…，800的800个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中最小的两个编号分别为008，033，则样本中最大的编号应该是．参考答案：783【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为008，033，∴样本数据组距为33﹣8=25，则样本容量为=32，则对应的号码数x=8+25（n﹣1），当n=32时，x取得最大值为x=8+25×31=783，故答案为：783．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．12.一几何体的三视图如图所示，则它的表面积是

，体积是

．参考答案：,13.对于函数f（x），方程f（x）=x的解称为f（x）的不动点，方程f[f（x）]=x的解称为f（x）的稳定点．①设函数f（x）的不动点的集合为M，稳定点的集合为N，则M?N；②函数f（x）的稳定点可能有无数个；③当f（x）在定义域上单调递增时，若x0是f（x）的稳定点，则x0是f（x）的不动点；上述三个命题中，所有真命题的序号是

．参考答案：①②③

【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若M=?，则M?N显然成立；若M≠?，由t∈M，证明t∈N，说明①正确；举例说明②正确；利用反证法说明③正确．【解答】解：①若M=?，则M?N显然成立；

若M≠?，设t∈M，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，∴t∈N，故M?N，∴①正确；②取f（x）=x，则方程f（x）=x的解有无数个，即不动点有无数个，∵不动点一定是稳定点，∴函数f（x）的稳定点可能有无数个，故②正确；③设x0是f（x）的稳定点，则f（f（x0））=x0，设f（x0）＞x0，f（x）是R上的增函数，则f（f（x0））＞f（x0），∴x0＞f（x0），矛盾；若x0＞f（x0），f（x）是R上的增函数，则f（x0）＞f（f（x0）），∴f（x0）＞x0矛盾．故f（x0）=x0，∴x0是函数f（x）的不动点，故③正确．∴正确命题的序号是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．14.若，则使成立的的取值范围是

参考答案：15.当对数函数的图象至少经过区域内的一个点时，实数的取值范围是

参考答案：16.

若，，则

．参考答案：（0，3）解析：因为所以17.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于

。参考答案：16略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，．（1）设（其中是的导函数），求的最大值；（2）证明:当时，求证：；（3）设,当时,不等式恒成立,求的最大值．参考答案：解:(1),所以．当时，；当时，．因此，在上单调递增，在上单调递减．因此，当时，取得最大值；（2）当时，．由（1）知：当时，，即．因此，有．（3）不等式化为所以对任意恒成立．令，则，令，则，所以函数在上单调递增．因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．所以．故整数的最大值是．19.甲、乙两人同时参加一个外贸公司的招聘,招聘分笔试与面试两部分,先笔试后面试.甲笔试与面试通过的概率分别为0.8,0.5,乙笔试与面试通过的概率分别为0.8,0.4,且笔试通过了才能进入面试,面试通过则直接招聘录用,两人笔试与面试相互独立互不影响.(1)求这两人至少有一人通过笔试的概率;(2)求这两人笔试都通过却都未被录用的概率;(3)记这两人中最终被录用的人数为X,求X的分布列和数学期望.参考答案：(1)0.96；(2)0.192；(3)分布列见解析，数学期望0.72【分析】(1)利用独立事件与对立事件的概率公式求解即可；(2)直接利用独立事件的概率公式求解即可；（3）X可取0,1,2,利用独立事件与对立事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】(1)设“这两人至少有一人通过笔试”为事件A,则P(A)=1P()=1(10.8)2=0.96.(2)设“这两人笔试都通过却都未被录用”为事件B,则P(B)=0.82×(10.5)×(10.4)=0.192.(3)甲、乙两人被录用的概率分别为0.8×0.5=0.4,0.8×0.4=0.32.由题意可得X可取0,1,2,则P(X=0)=(10.4)×(10.32)=0.408,P(X=1)=(10.4)×0.32+0.4×(10.32)=0.464,P(X=2)=0.4×0.32=0.128,所以X的分布列为X012P0.4080.4640128

故E（X）=0×0.408+1×0.464+2×0.128=0.72.【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.（本题13分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值。设函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（1）若曲线上的点P到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点。参考答案：（Ⅰ）（1）设，则；

又的图像与直线平行

又在取极小值，

，

，

；

，

设

则

；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

………………7分

（2）由，

得

当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，，

函数有两个零点；若，

，函数有两个零点；

当时，方程有一解,

,函数有一零点

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

………………13分略21.在北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车给市民们提供了一种新型的出行方式.2020年，怀化也将出现共享汽车，用户每次租车时按行驶里程（1元/公里）加用车时间（0.1元/分钟）收费，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间（分钟）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为[15,65]分钟.（Ⅰ）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望；（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.参考答案：解：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率依题意ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），，

，，