四川省广元市英萃中学高三数学理联考试卷含解析

四川省广元市英萃中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则满足的最小正整数是(

)

A.7

B.

8

C.

9

D.10参考答案：C略2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣4y的最大值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．﹣9 D．6参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=3x﹣4y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为﹣6．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3.若函数（，，）在

一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若；②若；③如果相交；④若其中正确的命题是（

） A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：D略5.设，且=sinx+cosx，则（）A．0≤x≤π

B．―≤x≤

C．≤x≤

D．―≤x≤―或≤x＜参考答案：B6.双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作一条直线与两条渐近线分别相交于A，B两点，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3参考答案：C7.设命题p：函数的最小正周期为；命题q:函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是A.为真

B.为假

C.为假

D.为真参考答案：C略8.已知，，则（

）（A）

（B）或

（C）

（D）参考答案：C略9.斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（1，）D．参考答案：B考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系与直线与双曲线的交点的个数即可得出．解答：解：∵斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，∴，∴=2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选B．点评：熟练掌握已知直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系与直线与双曲线的交点的个数是解题的关键．10.四棱锥的三视图如右图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A. B.24 C. D.参考答案：A将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，

且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为.设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG.根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是,可得,所以正方体棱长,在直角三角形中，,,即外接球半径，得外接球表面积为,选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点与椭圆的两个焦点构成等腰三角形，则椭圆的离心率e=

▲

参考答案：；12.已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为．参考答案：7【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴数列{log2an}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案为：7．13.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是____________.（写出所有真命题的序号）参考答案：①②略14.将a，b都是整数的点（a，b）称为整点，若在圆x2+y2﹣6x+5=0内的整点中任取一点M，则点M到直线2x+y﹣12=0的距离大于的概率为_________．参考答案：略15.点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0总成立，则m的取值范围是

．参考答案：m≥3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若2x﹣y+m≥0总成立?m≥y﹣2x总成立即可，设z=y﹣2x，即求出z的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=y﹣2x得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线经过点C（0，3）时，直线的截距最大，此时z最大，此时z=3﹣0=3，∴m≥3，故答案为：m≥3【点评】本题主要考查线性规划的应用，将不等式恒成立转换为求目标函数的最值是解决本题的根据．16.如图，在等腰三角形中，已知分别是边上的点，且其中若的中点分别为且则的最小值是

▲

.参考答案：17.若，则直线被圆所截得的弦长为

_____________.。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点P（﹣1，）是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足：+=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），求直线AB的斜率．（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由PF1⊥x轴，求出2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆E的方程．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），得x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ），再由3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由此能求出AB的斜率．（3）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立得x2+tx+t2﹣3=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，求出△PAB的面积为S=×|t﹣2|，设f（t）=S2=﹣（t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），求出f′（t）=﹣3（t+1）（t﹣2）2，由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）∵PF1⊥x轴，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），∴|PF2|==，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，∴椭圆E的方程为：=1．…（3分）（2）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），得（x1+1，y1﹣）+（x2+1，y2﹣）=λ（1，﹣），∴x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ）…①…又，两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0…．．②以①式代入可得AB的斜率k==．…（8分）（3）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2﹣3=0，△=3（4﹣t2），|AB|=|x1﹣x2|=×=，点P到直线AB的距离为d=，△PAB的面积为S=|AB|×d=×|t﹣2|，…（10分）设f（t）=S2=﹣（t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），f′（t）=﹣3（t3﹣3t2+4）=﹣3（t+1）（t﹣2）2，由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．当t∈（﹣2，﹣1）时，f′（t）＞0，当t∈（﹣1，2）时，f′（t）＜0，f（t）=﹣1时取得最大值，所以S的最大值为．此时x1+x2=﹣t=1=λ﹣2，λ=3．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线、导数等知识点的合理运用．19.（14分）已知：.

求：（1）的最小正周期；（2）的单调增区间；（3）若[,]时，求的值域.参考答案：解：（1）==

…………3'

T=

…………1'

（2）令

增区间

…………5'

（3），，

当，即时，y取得最大值3

当，即时，y取得最小值0

函数的值域

…………5'20.在直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数，）。（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数的取值范围.参考答案：（1）；（2）．试题分析：解题思路：（1）利用极坐标方程、参数方程、普通方程的互化公式将曲线方程化成普通方程即可：（2）利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，结合数形结合思想求值.规律总结：涉及直线与曲线的极坐标方程、参数方程的问题，要注意先将极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的相互转化，再利用有关知识进行求解.试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为,∴曲线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为,为半圆弧，如下图所示，曲线为一族平行于直线的直线，

当直线过点时，利用得，舍去，则，当直线过点、两点时，，

∴由图可知，当时，曲线与曲线有两个公共点.考点：1.直线的极坐标方程；2.圆的参数方程；3.直线与圆的位置关系.21.（本小题满分14分）已知，函数⑴求的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；⑵当时，求函数的值域参考答案：解：⑴

最小正周期为

对称中心为

⑵

当，即时，

当，即时，略22.