辽宁省沈阳市汇才学校高三数学文下学期期末试卷含解析

辽宁省沈阳市汇才学校高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列三个结论：（1）若命题为真命题，命题为真命题，则命题“”为真命题；（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；（3）命题“”的否定是“”.则以上结论正确的个数为A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：C为真，则为假，所以为假命题，所以（1）错误.“若，则或”的否命题为“若且，则”，所以（2）错误.（3）正确.选C.2.已知复数，则的虚部是

（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B试题分析：由，则复数z的虚部是，故选B.考点：复数代数形式的乘法运算.3.已知（、，是虚数单位，是的共轭复数），，，定义，．现有三个命题：①；

②；

③．其中为真命题的是A．①②③

B．①③

C．②③

D．①②参考答案：D4.下列各组向量中，可以作为基底的是A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，可得，即：，解得=．故选：C．6.要得到函数的图象，只要将函数的图象

A．向左平移单位 B．向右平移单位C．向右平移单位

D．向左平移单位参考答案：C略7.为正实数，为虚数单位，，则（

）A

2

B

C

D

1参考答案：B略8.已知集合，则（

）A．{0,1}

B．{0,1,2}

C．{－1,0,1}

D．{－1,3}参考答案：B9.设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N*时，f（n）∈N*，且f=2n+1，则f（1）+f（2）+…+f（7）=(

)A．39 B．40 C．43 D．46参考答案：C【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】利用函数单调递增及n∈N*时，f（n）∈N*，通过赋值法，和简单的逻辑推理，即可得到f（4）的值．【解答】解：由f=2n+1，令n=1，2得：f=3，f=5．∵当n∈N*时，f（n）∈N*，且f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，①若f（1）=1，则由f=3得：f（1）=3，与单调递增矛盾，故不成立；②若f（1）=2，则f（2）=3，则f（3）=5，则f（5）=7，则f（3）＜f（4）＜f（5）即5＜f（4）＜7，∴f（4）=6．f（6）=f（f（4））=2×4+1=9，f（7）=f（f（5））2×5+1=11．∴f（1）+f（2）+…+f（7）=2+3+5+6+7+9+11=43．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，抽象函数的应用，以及赋值法，考查推理能力，属于中档题．10.△ABC中，点在线段上，点在线段上，且满足,若，则的值为（

）A.1

B.

C.

D.

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知角的终边经过点，则______．参考答案：由题意，则.12.已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形ABCD面积的最大值为__________

参考答案：设，在中，由余弦定理可得，.在中，由余弦定理可得，，即有，又四边形面积，即有，又，两式两边平方可得.化简可得，，由于，即有，当即时，，解得.故的最大值为.13.实数，满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：14.已知向量，向量，则在方向上的投影为__

_。参考答案：215.设矩阵的逆矩阵为，a+b+c+d=

。参考答案：16.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是

．参考答案：命题意图：本题考查分段函数、曲线的切线斜率，渗透数形结合思想，中等题．17.图中阴影部分的面积等于

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆C：的左顶点为，且椭圆C与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使得？请说明理由．参考答案：（1），（2）存在，．（1）根据题意可知，所以，······················1分由椭圆C与直线相切，联立得，消去可得：，·························3分，即，解得：或3，所以椭圆的标准方程为．···································5分（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设两点的坐标分别为，，联立得，化简，所以，··········································7分所以，所以当时，；·························10分当过点的直线的斜率不存在时，直线即与轴重合，此时，所以，所以当时，；综上所述，当时，．···················12分19.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（10分）在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．参考答案：【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出圆C1的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）将圆C2化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出a．【解答】解：（1）将O，A，B三点化成普通坐标为O（0，0），A（0，2），B（2，2）．∴圆C1的圆心为（1，1），半径为，∴圆C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，将代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，∴ρ=2sin（）．（2）∵圆C2的参数方程为（θ是参数），∴圆C2的普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2．∴圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为|a|，∵圆C1与圆C2外切，∴2=+|a|，解得a=±．【点评】本题考查了圆的极坐标方程与普通方程的互化，属于基础题．20.已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）由题意可知圆心M的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=﹣1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心M的轨迹方程；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．代入抛物线方，由韦达定理及直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣（x+x2），把根与系数的关系代入可得4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，即可得出直线恒过定点．【解答】解：（1）∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，∴动点M的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2，∴动点M的轨迹方程为x2=4y；（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx+8=0，△=16k2﹣32＞0，解得k＞或k＜﹣．∴x1+x2=4k，x1x2=8．直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣（x+x2），又∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，∴4ky﹣4k（kx2﹣2）=（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，化为4y=（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），∵x1=4k﹣x2，∴4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，则y=2，∴直线AC恒过一定点（0，2）．21.如图，在△中，是的中点，是的中点，的延长线交于.（1）求的值；（4分）（2）若△的面积为，四边形的面积为

，求的值．（6分）

参考答案：22.如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．（1）若点是的中点，求证：平面（2）若是线段的中点，求三棱锥的体积.参考答案：解：（