湖南省郴州市上田中学2022年高二数学文期末试题含解析

湖南省郴州市上田中学2022年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为64个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由题意知，；；；；.故选：C.

2.已知sinθ＞0且cosθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】三角函数值的符号．【分析】利用三角函数的定义，可确定y＞0且x＜0，进而可知θ所在的象限．【解答】解：根据三角函数的定义，sinθ=＞0，cosθ=＜0，∵r＞0，∴y＞0，x＜0；∴θ在第二象限．故选：B．3.若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（

）条A.1条

B.2条

C.3条

D.以上都不对参考答案：B4.若直线与直线平行，则实数的值为

（

）A．

B．1

C．1或

D．

参考答案：A略5.设有一个回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时，则（）A．y平均增加2个单位 B．y平均增加3个单位C．y平均减少2个单位 D．y平均减少3个单位参考答案：B【考点】BP：回归分析．【分析】根据所给的线性回归方程，看出当自变量增加一个单位时，函数值增加3个单位，得到结果【解答】解：∵回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时变换为x+1，y1=2+3（x+1）∴y1﹣y=3，即平均增加3个单位，故选B．【点评】本题考查回归分析，本题是一个基础题，解题的关键是要说清楚y的值是平均增长3个单位．6.双曲线－y2=1(n>1)的焦点为F1、F2，，P在双曲线上，且满足：｜PF1|+|PF2|=2，则ΔPF1F2的面积是A、1

B、2

C、4

D、参考答案：A错因：不注意定义的应用。7.已知，，，则a,b,c的大小关系是（

）。A.

B.

C.

D.

参考答案：A8.已知集合M={﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（）A．{﹣1} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣3，3}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出集合N的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．【解答】解：N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，∵M={﹣3，﹣2，﹣1}，∴M∩N={﹣1}，故选：A9.用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（

）A.项 B.项 C.项 D.项参考答案：D【分析】分别写出当，和时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果.【详解】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.10.设，，，则的面积是

（

）

A.1

B.

C.4

D.4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，是⊙的直径延长线上一点，与⊙相切于点，的角平分线交于点，则的大小为_________．参考答案：略12.关于某设备的使用年限ｘ与所支出的维修费用ｙ(万元)，有如下统计资料：若y对x使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0呈线性相关，则线性回归方程表示的直线一定过定点

。参考答案：（4,5）13.已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则的值为

。参考答案：514.若双曲线的离心率为2，则的值为

▲

．参考答案：3

略15.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D为斜边BC的中点，则的值为__________。参考答案：18

16.正三棱锥的高为2，侧棱与地面ABC成，则点A到侧面PBC的距离为________.参考答案：略17.设为等差数列的前项和，若，，则

参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意可得：，∴，进而求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x0，y0），则根据题意可得：x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，再联立椭圆的方程可得：A（0，﹣1）或，进而根据圆的有关性质求出元得方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，…∴，∴，…所以椭圆C的标准方程是．…（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），…设A（x0，y0），则，∵，∴x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，…代入，得：或，即A（0，﹣1）或．…当A为（0，﹣1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x2+y2=1；

…当A为时，kBF=﹣1，kAF=1，所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆．由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为．…（14分）综上所述，△ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程中a，b，c之间的关系，以及圆的有关性质与向量的数量积表示．19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则?=?=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则?=?=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20.已知：不等式对于恒成立，:关于的不等式有解，若为真，为假，求的取值范围．参考答案：：，

对于，不等式恒成立，可得，

：，

…………3分

又命题q：有解，，解得或，…………6分

为真，且为假，

与q必有一真一假当p真q假时，有，

即，

当p假q真时，有，即或，

综上，实数m的取值范围是．…………10分21.已知一个分段函数可利用函数来表示，例如要表示一个分段函数，可将函数表示为．现有一个函数．（1）求函数在区间上的最大值与最小值；（2）若关于的不等式对任意都成立，求实数的取值范围．参考答案：(1)，;(2).考点：1.分段函数；2.数形结合.22.（14分）若数列{an}的前n项和为Sn，a1=2且Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3…）．（I）求a2，a3；（II）求证：数列{an﹣2an﹣1}是常数列；（III）求证：．参考答案：【考点】数列的应用．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）由Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），知S2=4a1﹣2=6．所以a2=S2﹣a1=4．a3=8．（2）由Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），知Sn=4an﹣1﹣2（n≥2）；所以an+1=4an﹣4an﹣1由此入手能推导出数列{an﹣2an﹣1}是常数列．（3）由题设条件知an=2n，所以．由此及彼可知．【解答】解：（1）∵Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），∴S2=4a1﹣2=6．∴a2=S2﹣a1=4．同理可得a3=8．（2）∵Sn+1=4an﹣2（n=1，2，3），∴Sn=4an﹣1﹣2（n≥2）．两式相减得：an+1=4an﹣4an﹣1变形得：an+1﹣2an=2an﹣4an﹣1=2（an﹣2an﹣1）（n≥2）则：an﹣2an﹣1=2（an﹣1﹣2an