高中数学必修2第二章知识点总结及例题

高中数学必修2第二章知识点总结及例题高中数学必修2知识点总结立体几何初步'h为斜高，l为母线)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，11S,ch'S,(c，c)h'正棱锥侧面积S,ch12正棱台侧面积直棱柱侧面积22S,2,rh，，S,2,rr，l圆柱侧圆柱表S,,rl，，S,,rr，l圆锥侧面积圆锥表22S,,，，r，rl，Rl，RS,(r，R),l圆台表圆台侧面积柱体、锥体、台体的体积公式1211''2VShrh,,,VSh,VSSSSh,，，()VSh,V,,rh圆柱柱台锥圆锥33311''22,，，,，，,VSSSShrrRRh()()圆台332434,R(4)球体的表面积和体积公式:V=;S=,R球球面3第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1平面含义:平面是无限延展的2三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A?LAB?L=>Lαα?LA?αB?α公理1作用:判断直线是否在平面内.(2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。AB?α?C符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，?使A?α、B?α、C?α。公理2作用:确定一个平面的依据。(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:P?α?β=>α?β=L，且P?Lβ公理3作用:判定两个平面是否相交的依据.Pα2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系L?1空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内，没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设a、b、c是三条直线a?b=>a?cc?b第1页共32页强调:公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4注意点:O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上;?a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与?两条异面直线所成的角θ?(0，);,?当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a?b;2?两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形;?计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示aαa?α=Aa?α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为:线线平行，则线面平行。符号表示:aαbβ=>a?αa?b2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示:aβbβa?b=Pβ?αa?αb?α2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。第2页共32页符号表示:a?αaβa?bα?β=b作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示:α?βα?γ=aa?bβ?γ=b作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L?α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。PaL2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβBα2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章直线与方程(1)直线的倾斜角定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0??α,180?(2)直线的斜率k,tan,。斜率?定义:倾斜角不是90?的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时,α=0?,k=tan0?=0;当直线l与x轴垂直时,α=90?,k不存在.,,,,,,,90k,0k,0k当,时，;当时，;当时，不存在。,,0,90，,,，，90,180第3页共32页y,y21k,(x,x)(P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1?x2)?过两点的直线的斜率公式:12x,x21时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90?;注意下面四点:(1)当x,x12(2)k与P、P的顺序无关;12(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。(3)直线方程?点斜式:直线斜率k，且过点y,y,k(x,x)，，x,y1111注意:当直线的斜率为0?时，k=0，直线的方程是y=y。1当直线的斜率为90?时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示(但因l上每一点的横坐标都等于x，所1以它的方程是x=x。1y,kx，b?斜截式:，直线斜率为，直线在轴上的截距为kybyyxx,,11xxyy,,,?两点式:()直线两点，,，，x,y，，x,y12121122yyxx,,2121xy(,0)a(0,)b?截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。llab,yy，,1xxabAx，By，C,0?一般式:(A，B不全为0)注意:1各式的适用范围2特殊的方程如:??y,b平行于x轴的直线:(b为常数);平行于y轴的直线:(a为常数);x,a(6)两直线平行与垂直当，时，l:y,kx，bl:y,kx，b111222;l//l,k,k,b,b121212l,l,kk,,11212注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。(7)两条直线的交点相交l:Ax，By，C,0l:Ax，By，C,011112222，，,0AxByC,111交点坐标即方程组的一组解。,Ax，By，C,0222,ll方程组无解;方程组有无数解与重合,l//l,1212AxyBxy(,),，()(8)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点，112222||()()ABxxyy,,，,则2121Ax，By，C00(9)点到直线距离公式:一点到直线l:Ax，By，C,0的距离，，Px,y001d,22A，B(10)两平行直线距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为:，lllAx，By，C,01211C,C12d,:，则与的距离为lllAx，By，C,0212222A，B第四章圆与方程1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程222，，a,b，，，，(1)标准方程x,a，y,b,r，圆心，半径为r;222点与圆的位置关系:Mxy(,)()()xaybr,，,,00第4页共32页222222rr>，点在圆外当=，点在圆上当()()xayb,，,()()xayb,，,0000222r当<，点在圆内()()xayb,，,0022(2)一般方程x，y，Dx，Ey，F,0221DE,,22D，E,4F,0当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为r,D，E,4F,,,,,222,,22D，E,4F,0当时，表示一个点;22D，E,4F,0当时，方程不表示任何图形。(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况:22Aa，Bb，C2l:Ax，By，C,0(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，，，Ca,b，，，，C:x,a，y,b,rd,22A，Bd,r,l与C相离d,r,l与C相切d,r,l与C相交则有;;(2)过圆外一点的切线:?k不存在，验证是否成立?k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】2222(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x，y)，则过此点的切线方程为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r00004、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。222222设圆，，，，，C:x,a，y,b,R，，，，C:x,a，y,b,r111222两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。d,R，r当时两圆外离，此时有公切线四条;d,R，r当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;R,r,d,R，r当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线;d,R,r当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线;d,0d,R,r当时，两圆内含;当时，为同心圆。注意:已知圆上两点，圆心必在中垂线上;已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点第一章空间几何体题一、选择题1(有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个()(主视图左视图俯视图(第1题)第5页共32页A(棱台B(棱锥C(棱柱D(正八面体的等腰梯形，那么原平面图形的面2(如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45?，腰和上底均为1积是()(1，22，221，2A(2，B(C(D(223(棱长都是的三棱锥的表面积为()(1A(B(2C(3D(433334(长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()(A(25πB(50πC(125πD(都不对5(正方体的棱长和外接球的半径之比为()(A(?1B(?2C(2?D(?333336(在?ABC中，AB,2，BC,1.5，?ABC,120?，若使?ABC绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是()(BC9753A(πB(πC(πD(π22227(若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()(A(130B(140C(150D(16038(如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF?AB，EF,，且EF与平面ABCD的距2离为2，则该多面体的体积为()((第8题)915A(B(5C(6D(229(下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()(((A(用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B(几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C(水平放置的矩形的直观图是平行四边形D(水平放置的圆的直观图是椭圆10(如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是()(第6页共32页(第10题)二、填空题11(一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱(12(若三个球的表面积之比是1?2?3，则它们的体积之比是_____________(13(正方体ABCD,A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O,AB1D1的体积为_____________(14(如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________((第14题)36215(已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________(16(一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米(三、解答题17(有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，求它的深度(18*(已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比([提示:过正方体的对角面作截面]第7页共32页2，AD,2，求四边形ABCD绕AD19(如图，在四边形ABCD中，?DAB,90?，?ADC,135?，AB,5，CD,2旋转一周所成几何体的表面积及体积((第19题)20(养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变)((1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些,第8页共32页A组第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题,1(设,，,为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l,，m，有如下的两个命题:?若,?,，则l?m;?,?若l?m，则,?,(那么()(A(?是真命题，?是假命题B(?是假命题，?是真命题C(??都是真命题D(??都是假命题2(如图，ABCD,ABCD为正方体，下面结论错误的是()(1111((A(BD?平面CBD11B(AC?BD1C(AC?平面CBD111D(异面直线AD与CB角为60?1(第2题)3(关于直线m，n与平面,，,，有下列四个命题:?m?,，n?,且,?,，则m?n;?m?,，n?,且,?,，则m?n;?m?,，n?,且,?,，则m?n;?m?,，n?,且,?,，则m?n(其中真命题的序号是()(A(??B(??C(??D(??4(给出下列四个命题:?垂直于同一直线的两条直线互相平行?垂直于同一平面的两个平面互相平行?若直线l，l与同一平面所成的角相等，则l，l互相平行1212?若直线l，l是异面直线，则与l，l都相交的两条直线是异面直线1212其中假命题的个数是()(A(1B(2C(3D(4(5(下列命题中正确的个数是()(?若直线l上有无数个点不在平面,内，则l?,?若直线l与平面,平行，则l与平面,内的任意一条直线都平行?如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行?若直线l与平面,平行，则l与平面,内的任意一条直线都没有公共点A(0个B(1个C(2个D(3个6(两直线l与l异面，过l作平面与l平行，这样的平面()(1212A(不存在B(有唯一的一个C(有无数个D(只有两个7(把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()(A(90?B(60?C(45?D(30?8(下列说法中不正确的是()(((((第9页共32页A(空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B(同一平面的两条垂线一定共面C(过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D(过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9(给出以下四个命题:?如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行?如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面?如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行?如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是()(A(4B(3C(2D(110(异面直线a，b所成的角60?，直线a?c，则直线b与c所成的角的范围为()(A([30?，90?]B([60?，90?]C([30?，60?]D([30?，120?]二、填空题,ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S，S，S，则这个三棱锥11(已知三棱锥P123的体积为(12(P是?ABC所在平面,外一点，过P作PO?平面,，垂足是O，连PA，PB，PC((1)若PA,PB,PC，则O为?ABC的心;(2)PA?PB，PA?PC，PC?PB，则O是?ABC的心;(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是?ABC的心;(4)若PA,PB,PC，?C,90º，则O是AB边的点;(5)若PA,PB,PC，AB,AC，则点O在?ABC的线上(13(如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将?ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所J成角的度数为((第13题)14(直线l与平面,所成角为30?，l?,,A，直线m?,，则m与l所成角的取值范围是(15(棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d，d，d，d，则d，d，d，d的31234124值为(,,16(直二面角,,l,,的棱上有一点A，在平面,，,内各有一条射线AB，AC与l成45?，AB,，AC,，则?BAC第10页共32页,(三、解答题17(在四面体ABCD中，?ABC与?DBC都是边长为4的正三角形((1)求证:BC?AD;(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A,BC,D的正弦值;,，猜想,为何值时，四面体A,BCD的体积(3)设二面角A,BC,D的大小为最大((不要求证明)(第17题)18(如图，在长方体ABCD—ABCD中，AB,2，BB,BC,1，E为DC的中点，连结ED，EC，EB和DB(1111111(1)求证:平面EDB?平面EBC;(2)求二面角E,DB,C的正切值.(第18题)19*(如图，在底面是直角梯形的四棱锥,,ABCD中，AD?BC，?ABC,90?，1SA?面ABCD，SA,AB,BC,,，AD,(2(1)求四棱锥S—ABCD的体积;(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值((提示:延长BA，CD相交于点E，则直线SE是所求二面角的棱.)第11页共32页上取20*(斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积((提示:在AA1一点P，过P作棱柱的截面，使AA垂直于这个截面.)1(第20题)第三章直线与方程A组一、选择题1(若直线x,1的倾斜角为,，则,()(,A(等于0B(等于,C(等于D(不存在22(图中的直线l，l，l的斜率分别为k，k，k，则()(123123A(k,k,kB(k,k,k123312C(k,k,kD(k,k,k321132(第2题)3(已知直线l经过两点(,1，,2)、(,1，4)，直线l经过两点(2，1)、(x，6)，且l?l，则x,()(1212A(2B(,2C(4D(14(已知直线l与过点M(,，)，N(，,)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()(3322,2,3,,A(B(C(D(43345(如果AC,0，且BC,0，那么直线Ax，By，C,0不通过()(A(第一象限B(第二象限C(第三象限D(第四象限6(设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|,|PB|，若直线PA的方程为x,y，1,0，则直线PB的方程是()(A(x，y,5,0B(2x,y,1,0C(2y,x,4,0D(2x，y,7,07(过两直线l:x,3y，4,0和l:2x，y，5,0的交点和原点的直线方程为()(12A(19x,9y,0B(9x，19y,0C(19x,3y,0D(3x，19y,0第12页共32页2:x，ay，6,0和直线l:(a,2)x，3ay，2a,0没有公共点，则a的值是()(8(直线l12A(3B(,3C(1D(,19(将直线l沿y轴的负方向平移a(a,0)个单位，再沿x轴正方向平移a，1个单位得直线l'，此时直线l'与l重合，则直线l'的斜率为()(aaa，1a，1,,A(B(C(D(a，1a，1aa10(点(4，0)关于直线5x，4y，21,0的对称点是()(A((,6，8)B((,8，,6)C((6，8)D((,6，,8)二、填空题11(已知直线l的倾斜角,,15?，直线l与l的交点为A，把直线l绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l重合时所111221转的最小正角为60?，则直线l的斜率k的值为(22112(若三点A(,2，3)，B(3，,2)，C(，m)共线，则m的值为(213(已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为(14(求直线3x，ay,1的斜率(15(已知点A(,2，1)，B(1，,2)，直线y,2上一点P，使|AP|,|BP|，则P点坐标为(16(与直线2x，3y，5,0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是(17(若一束光线沿着直线x,2y，5,0射到x轴上一点，经x轴反射后其反射线所在直线的方程是(三、解答题2218(设直线l的方程为(m,2m,3)x，(2m，m,1)y,2m,6(m?R，m?,1)，根据下列条件分别求m的值:?l在x轴上的截距是,3;?斜率为1(19(已知?ABC的三顶点是A(,1，,1)，B(3，1)，C(1，6)(直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，?CEF1的面积是?CAB面积的(求直线l的方程(4第13页共32页:4x，y，6,0，l:3x,5y,6,0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程(20(一直线被两直线l12.21(直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程(第四章圆与方程一、选择题1(若圆C的圆心坐标为(2，,3)，且圆C经过点M(5，,7)，则圆C的半径为()(A(B(5C(25D(5102(过点A(1，,1)，B(,1，1)且圆心在直线x，y,2,0上的圆的方程是()(22222222A((x,3)，(y，1),4B((x，3)，(y,1),4C((x,1)，(y,1),4D((x，1)，(y，1),43(以点(,3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()(22222222A((x,3)，(y，4),16B((x，3)，(y,4),16C((x,3)，(y，4),9D((x，3)，(y,4),19224(若直线x，y，m,0与圆x，y,m相切，则m为()(2A(0或2B(2C(D(无解225(圆(x,1)，(y，2),20在x轴上截得的弦长是()(2A(8B(6C(6D(4322226(两个圆C:x，y，2x，2y,2,0与C:x，y,4x,2y，1,0的位置关系为()(12A(内切B(相交C(外切D(相离22227(圆x，y,2x,5,0与圆x，y，2x,4y,4,0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是()(A(x，y,1,0B(2x,y，1,0C(x,2y，1,0D(x,y，1,022228(圆x，y,2x,0和圆x，y，4y,0的公切线有且仅有()(第14页共32页A(4条B(3条C(2条D(1条9(在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述:(a，,b，c);点M关于yoz平面对称的点的坐标是M(a，,b，,c);点M关于x轴对称点的坐标是M12点M关于y轴对称的点的坐标是M(a，,b，c);点M关于原点对称的点的坐标是M(,a，,b，,c)(34其中正确的叙述的个数是()(A(3B(2C(1D(010(空间直角坐标系中，点A(,3，4，0)与点B(2，,1，6)的距离是()(21A(2B(2C(9D(4386二、填空题2211(圆x，y,2x,2y，1,0上的动点Q到直线3x，4y，8,0距离的最小值为(12(圆心在直线y,x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为(13(以点C(,2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是(222214(两圆x，y,1和(x，4)，(y,a),25相切，试确定常数a的值(15(圆心为C(3，,5)，并且与直线x,7y，2,0相切的圆的方程为(2216(设圆x，y,4x,5,0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是(三、解答题17(求圆心在原点，且圆周被直线3x，4y，15,0分成1?2两部分的圆的方程(18(求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab?0)(第15页共32页A(4，2)，B(,1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程(19(求经过(求经过点(8，3)，并且和直线x,6与x,10都相切的圆的方程(20期末测试题考试时间:90分钟试卷满分:100分一、选择题:本大题共14小题，每小题4分，共56分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的((在直角坐标系中，已知A(,1，2)，B(3，0)，那么线段AB中点的坐标为()(1A((2，2)B((1，1)C((,2，,2)D((,1，,1)2(右面三视图所表示的几何体是()(A(三棱锥侧视图正视图B(四棱锥C(五棱锥D(六棱锥俯视图(第2题)3(如果直线x，2y,1,0和y,kx互相平行，则实数k的值为()(11A(2B(C(,2D(,224(一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为()(第16页共32页A(1B(2C(3D(45(下面图形中是正方体展开图的是()(ABCD(第5题)22，y,2x,4y,4,0的圆心坐标是()(6(圆xA((,2，4)B((2，,4)C((,1，2)D((1，2)7(直线y,2x，1关于y轴对称的直线方程为()(A(y,,2x，1B(y,2x,1C(y,,2x,1D(y,,x,18(已知两条相交直线a，b，a?平面,，则b与,的位置关系是()(,A(b平面,B(b?平面,C(b?平面,D(b与平面,相交，或b?平面,？(在空间中，a，b是不重合的直线，,，,是不重合的平面，则下列条件中可推出a?b的是()(,,,,A(a,，b,，,?,B(a?,，b,C(a?,，b?,D(a?,，b,222210(圆x，y,1和圆x，y,6y，5,0的位置关系是()(A(外切B(内切C(外离D(内含11(如图，正方体ABCD—A'B'C'D'中，直线D'A与DB所成的角可以表示为,D,C()(A(?D'DBB(?AD'C',A,BC(?ADBD(?DBC'(第11题)2212(圆(x,1)，(y,1),2被轴截得的弦长等于()(x3A(1B(C(22D(3DC13(如图，三棱柱ABC—ABC中，侧棱AA?底面ABC，底面三角形1111111ECBABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是()(111AA(CC与BE是异面直线11ABC1B1A第17页共32页1(第13题)BBAB(AC?平面A11C(AE，BC为异面直线，且AE?BC1111D(AC?平面ABE11114(有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4cm，高为12cm(现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要2涂色，笔筒厚度忽略不计)(如果每0.5kg涂料可以涂1m，那么为这批笔筒涂色约需涂料(A(1.23kgB(1.76kgC(2.46kgD(3.52kg二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分(把答案填在题中横线上(15(坐标原点到直线4x，3y,12,0的距离为(16(以点A(2，0)为圆心，且经过点B(,1，1)的圆的方程D1C1A是(1B117(如图，在长方体ABCD—ABCD中，棱锥A——ABCD的体积与11111CD长方体的体积之比为_______________(AB(第17题)18(在平面几何中，有如下结论:三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得:四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________(三、解答题:本大题共3小题，共28分(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(19(已知直线l经过点(0，,2)，其倾斜角是60?((1)求直线l的方程;(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积(20(如图，在三棱锥P—ABC中，PC?底面ABC，AB?BC，D，E分别是AB，PB的中点(P(1)求证:DE?平面PAC;(2)求证:AB?PB;E(3)若PC,BC，求二面角P—AB—C的大小(CADB第18页共32页(第20题)21(已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x，3y,29,0相切((1)求圆C的方程;(2)设直线ax,y，5,0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得过点P(,2，4)的直线l垂直平分弦AB,若存在，求出实数a的值;若不存在，请说明理由(期末测试题参考答案一、选择题1(B2(D3(D4(C5(A6(D7(A8(D9(C10(A11(D12(C13(C14(D二、填空题12(15(52216((x,2)，y,10(17(1:3(18(到四个面的距离之和为定值(三、解答题19(解:(1)因为直线l的倾斜角的大小为60?,故其斜率为tan60?,，又直线l经过点(0，,2)，所以其方程为x33,y,2,0(2(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是，,2，所以直线l3P1223与两坐标轴围成三角形的面积S,??2,(233E20((1)证明:因为D，E分别是AB，PB的中点，CA第19页共32页DB(第20题)所以DE?PA(,平面PAC，且DE平面PAC，因为PA,所以DE?平面PAC(,(2)因为PC?平面ABC，且AB平面ABC，所以AB?PC(又因为AB?BC，且PC?BC,C(所以AB?平面PBC(,又因为PB平面PBC，所以AB?PB((3)由(2)知，PB?AB，BC?AB，所以，?PBC为二面角P—AB—C的平面角(因为PC,BC，?PCB,90?，所以?PBC,45?，所以二面角P—AB—C的大小为45?(21(解:(1)设圆心为M(m，0)(m?Z)(4m,29由于圆与直线4x，3y,29,0相切，且半径为5，所以，,5，5即|4m,29|,25(因为m为整数，故m,1(22故所求的圆的方程是(x,1)，y,25((2)直线ax,y，5,0即y,ax，5(代入圆的方程，消去y整理，得22(a，1)x，2(5a,1)x，1,0(22由于直线ax,y，5,0交圆于A，B两点，故?,4(5a,1),4(a，1),0，52即12a,5a,0，解得a,0，或a,(125所以实数a的取值范围是(,?，0)?(，，?)(1211(3)设符合条件的实数a存在，由(2)得a?0，则直线l的斜率为,，l的方程为y,,(x，2)，4，即x，ay，2aa335,4a,0(由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上(所以1，0，2,4a,0，解得a,(由于?(，，?)，44123故存在实数a,，使得过点4P(,2，4)的直线l垂直平分弦AB(第20页共32页第一章空间几何体参考答案A组一、选择题1(A解析:从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台(122(1，，1)?2,2，(2(A解析:原图形为一直角梯形，其面积S,233(A解析:因为四个面是全等的正三角形，则S,4?,(3表面44(B解析:长方体的对角线是球的直径，52222222l,,5，2R,5，R,，S,4πR,50π(3，4，525(C解析:正方体的对角线是外接球的直径(3126(D解析:V,V,V,πr(1，1.5,1),π(大小232222227(D解析:设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l，l，而,15,5，,9,5，ll121222222222而，,4a，即15,5，9,5,4a，a,8，S,4?8?5,160(ll侧面218(D解析:过点E，F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，131315V,2???3?2，?3?2?,(422239(B解析:斜二测画法的规则中，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段，长度为原来的一半(平行于z轴的线段的平行性和长度都不变(10(D解析:从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.二、填空题11(参考答案:5，4，3(解析:符合条件的几何体分别是:三棱柱，三棱锥，三棱台(212(参考答案:1?2?3(3333333222r?r?r,1??，??,1?()?(),1?2?3(rrr33312312313a13(参考答案:(6解析:画出正方体，平面ABD与对角线AC的交点是对角线的三等分点，11111133323三棱锥O,ABD的高h,a，V,Sh,??2a?a,a(11633343另法:三棱锥O,ABD也可以看成三棱锥A,OBD，它的高为AO，等腰三角形OBD为底面(11111114(参考答案:平行四边形或线段(15(参考答案:，(66第21页共32页22，bc,，ac,，则V=abc,，c,，a,，b,1，解析:设ab,3663l,,(3，2，16423316(参考答案:12(解析:V,Sh,πrh,πR，R,,12(64?273三、解答题17(参考答案:3?1900003V1′V,(S，，S)h，h,,,75(SS3′′3600，2400，1600S，SS，S18(参考答案:2如图是过正方体对角面作的截面(设半球的半径为R，正方体的棱长为a，则CC',a，OC,a，OC',R(2A'C'ACO(第18题)222在Rt中，由勾股定理，得CC'，OC,OC'，?C'CO2222即a，(a),R(26633?R,a，?V,πa，V,a(半球正方体22?V?V,π?2(6半球正方体19(参考答案:S,S，S，S表面下底面台侧面锥侧面22,π?5，π?(2，5)?5，π?2?22,(60，4)π(V,V,V台锥11222,π(，rr，)h,πrhrr1211233148,π(320(解:(1)参考答案:如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积第22页共32页111625623,VSh,?π?()?4,π(m)(12333如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积288121123V,Sh,?π?()?8,π(m)(22333(2)参考答案:如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m(22棱锥的母线长为l,,4，8，452仓库的表面积S,π?8?4,32π(m)(551如果按方案二，仓库的高变成8m(22,10，棱锥的母线长为l,8，62仓库的表面积S,π?6?10,60π(m)(2(3)参考答案:?V,V，S,S，?方案二比方案一更加经济些(2121第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案A组一、选择题1(D解析:命题?有反例，如图中平面,?平面,,直线n，l,，m,，??且l?n，m?n，则m?l，显然平面,不垂直平面,，(第1题)故?是假命题;命题?显然也是假命题，2(D解析:异面直线AD与CB角为45?(13(D解析:在?、?的条件下，m，n的位置关系不确定(4(D解析:利用特殊图形正方体我们不难发现????均不正确，故选择答案D(5(B解析:学会用长方体模型分析问题，AA有无数点在平面ABCD外，但AA与11平面ABCD相交，?不正确;AB?平面ABCD，显然AB不平行于BD，?不正1111确;AB?AB，AB?平面ABCD，但AB平面ABCD内，?不正确;l与平面α?1111平行，则l与,无公共点，l与平面,内的所有直线都没有公共点，?正确，应选B((第5题)6(B解析:设平面,过l，且l?,，则l上一定点P与l确定一平面,，,与,的交线l?l，且l过点P.又过点1212323P与l平行的直线只有一条，即l有唯一性，所以经过l和l的平面是唯一的，即过l且平行于l的平面是唯一的.2313127(C第23页共32页解析:当三棱锥D,ABC体积最大时，平面DAC?ABC，取AC的中点O，则?DBO是等腰直角三角形，即?DBO,45?(8(D解析:A(一组对边平行就决定了共面;B(同一平面的两条垂线互相平行，因而共面;C(这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;D(把书本的书脊垂直放在桌上就明确了(9(B解析:因为???正确，故选B(10(A，b所成的角为60?，直线?，过空间任一点P，作直线a’?a，b’?b，c’?c.若a’，b’，c’解析:异面直线aca共面则b’与c’成30?角，否则b’与’所成的角的范围为(30?，90?]，所以直线b与c所成角的范围为[30?，90?](c二、填空题111((2SSS1233解析:设三条侧棱长为a，b，c(111则ab,S，bc,S，ca,S三式相乘:1232221222?abc,SSS，1238?abc,2(2SSS123?三侧棱两两垂直，111?V,abc?,(2SSS12323312(外，垂，内，中，BC边的垂直平分(解析:(1)由三角形全等可证得O为?ABC的外心;(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为?ABC的垂心;(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为?ABC的内心;(4)由三角形全等可证得，O为AB边的中点;(5)由(1)知，O在BC边的垂直平分线上，或说O在?BAC的平分线上(13(60?(解析:将?ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60?(14([30?，90?](解析:直线l与平面,所成的30?的角为m与l所成角的最小值，当m在,内适当旋转就可以得到l?m，即m与l所成角的的最大值为90?(第24页共32页6(15(313136解析:作等积变换:?(d，d，d，d),?h，而h,(，，12343434316(60?或120?(解析:不妨固定AB，则AC有两种可能(三、解答题17(证明:(1)取BC中点O，连结AO，DO(??ABC，?BCD都是边长为4的正三角形，?AO?BC，DO?BC，且AO?DO,O，,?BC?平面AOD(又AD平面AOD，?BC?AD((第17题)解:(2)由(1)知?AOD为二面角A,BC,D的平面角，设?AOD,,，则过点D作DE?AD，垂足为E(,?BC?平面ADO，且BC平面ABC，?平面ADO?平面ABC(又平面ADO?平面ABC,AO，?DE?平面ABC(?线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE,3(3又DO,BD,2，32DE3在Rt?DEO中，sin,,,，DO23故二面角A,BC,D的正弦值为(2(3)当,,90?时，四面体ABCD的体积最大(18(证明:(1)在长方体ABCD,ABCD中，AB,2，BB,BC,1，E为DC的中点(??DDE为等腰直角三角形，11111111?DED,45?(同理?CEC,45?(?，即DE?EC(，DEC,90:11ABCDDDCCDDCC,在长方体ABCD,中，BC?平面，又DE平面，11111111EC:BC,C?BC?DE(又，?DE?平面EBC(?平面DEB过DE，?平面DEB?平面EBC(DDCC(2)解:如图，过E在平面中作EO?DC于O(在长方体ABCD11ABCDDDCC,中，?面ABCD?面，?EO?面ABCD(过O在平面DBC111111中作OF?DB于F，连结EF，?EF?BD(?EFO为二面角E,DB,C的平面1角(利用平面几何知识可得OF,，(第18题)5第25页共32页EFO,(又OE,1，所以，tan，511，3121,19*(解:(1)直角梯形ABCD的面积是M,,，，(BC，AD),AB底面2241131?四棱锥S—ABCD的体积是V,?SA?M,?1?,(底面4433(2)如图，延长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱(?AD?BC，BC,2AD，?EA,AB,SA，?SE?SB?SA?面ABCD，得面SEB?面EBC，EB是交线(又BC?EB，?BC?面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，?CS?SE，?BSC是所求二面角的平面角(22?SB,,，BC,1，BC?SB，SA，AB2BC2?tan?BSC,，(第19题),SB22即所求二面角的正切值为(220*(解:如图，设斜三棱柱ABC—ABC的侧面BBCC的面积为10，AA和面111111BBCC的距离为6，在AA上取一点P作截面PQR，使AA?截面PQR，AA?CC，?截111111面PQR?侧面BBCC，过P作PO?QR于O，则PO?侧面BBCC，且PO,6(11111?V,S?AA,?QR?PO?AA斜?PQR1121(第20题),?PO?QR?BB121,?10?62,30(第三章直线与方程参考答案A组一、选择题1(C解析:直线x,1垂直于x轴，其倾斜角为90?(2(D解析:直线l的倾斜角,是钝角，故k,0;直线l与l的倾斜角,，,均为锐角且,,,，所以k,k,0，11123232323因此k,k,k，故应选D(2313(A,解析:因为直线l经过两点(,1，,2)、(,1，4)，所以直线l的倾斜角为，而l?l，所以，直线l的倾斜角也111222第26页共32页,，又直线l经过两点(2，1)、(x，6)，所以，x,2(为224(C2，3,,1解析:因为直线MN的斜率为，而已知直线l与直线MN垂直，所以直线l的斜率为1，故直线l的,3,2,倾斜角是(45(CAC,D,,解析:直线Ax，By，C,0的斜率k,,0，在y轴上的截距,0，所以，直线不通过第三象限(BB6(A解析:由已知得点A(,1，0)，P(2，3)，B(5，0)，可得直线PB的方程是x，y,5,0(7(D8(D9(B解析:结合图形，若直线l先沿y轴的负方向平移，再沿x轴正方向平移后，所得直线与l重合，这说明直线l和l’的斜率均为负，倾斜角是钝角(设l’的倾斜角为,，则a,tan,,(a，110(D解析:这是考察两点关于直线的对称点问题(直线5x，4y，21,0是点A(4，0)与所求点A'(x，y)连线的中垂线，列出关于x，y的两个方程求解(二、填空题11(,1(解析:设直线l的倾斜角为,，则由题意知:22180?,,，15?,60?，,,135?，22?k,tan,,tan(180?,45?),,tan45?,,1(22112(((第11题)2解:?A，B，C三点共线，1,2,3m,3,?k,k，(解得m,(ABAC13，22，2213((2，3)(解析:设第四个顶点D的坐标为(x，y)，?AD?CD，AD?BC，第27页共32页?k,,1，且k,k(?kADCDADBCy,1y,2y,1??,,1，,1(x,0x,3x,0x,0x,2,,解得(舍去),,y,1y,3,,所以，第四个顶点D的坐标为(2，3)(314(,