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文档简介
8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与平面垂直第八章立体几何初步一、线面垂直—直观感知
二、直线与平面垂直定义—探究ABABABABABABABABABABCABABABABABAB请你给直线与平面垂直下个定义吧!
直线垂直于平面内的任意一条直线.C1B1
平面的垂线垂足直线的垂面三、直线与平面垂直定义图形表示注意:直线与平面垂直定义的“双向”作用(1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,则该直线与已知平面垂直,即线线垂直⇒线面垂直.(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直,即线面垂直⇒线线垂直.
问题2:我们知道,在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间,过一点垂直于已知平面的直线有几条?过一点垂直于已知直线的平面有多少个?过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条;过一点垂直于已知直线的平面只有一个.α
P.O.l垂线段点到平面的距离“点面距”PABCO.点到平面的距离
√××2.(多选)下列四个命题中,其中正确的是 (
)A.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行B.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条思考3:能否通过证明与有限条直线垂直来判定线面垂直呢?练习1CD探究:过纸片△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)折痕AD与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?当且仅当折痕AD是BC边上的高时,即直线AD
与平面α内的两条相交直线BC,AD都垂直三、直线与平面垂直的判定定理AD所在直线与桌面所在平面α垂直
线线垂直线面垂直线不在多,相交则灵例3:求证:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
如图,在三棱锥SABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.求证:SD⊥平面ABC.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
[提醒]
要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.
方法总结问题3:我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,如何给它命名?平面的斜线
四、直线与平面的夹角A
P射影斜线射影——垂直于平面的平行光线照射该斜线
得到的在平面内的投影
平面的斜线与平面内所有直线所成的角中,斜线与平面所成的角最小.
APO斜线垂线斜线在平面上的射影斜足垂足
(1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.[提醒]
在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面内的射影
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