河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试数学试题（含答案解析）

NT20名校联合体高一年级收心考试数学考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合或，，则（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】【分析】先求出即可求出.【详解】因为，所以，因为，故.故选：B.2.若点是角终边上一点，且，则y的值为（）A. B. C.－2 D.2【答案】D【解析】【分析】由诱导公式六及三角函数的定义求解即可.【详解】，又由三角函数的定义得，所以，又，解得.故选:D.3.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用“”分段法来确定正确答案.【详解】因为，，，所以.故选：B4.若，且，则的值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再利用两角和的正弦公式，准确计算，即可求解.【详解】因为，可得，又因为，所以，所以，则.故选：A5.已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（）A.－4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由为上奇函数及可得的周期为4，然后将转化为，求解即可.【详解】为奇函数，则，又因为，所以，即，所以所以的周期为4，，因为为奇函数，所以.故选：C6.若为奇函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.-1【答案】C【解析】【分析】化简为，由为奇函数可得为偶函数，结合偶函数定义即可求得a的值.【详解】由题意得，因为为奇函数，所以为偶函数，令，定义域为R，则，即，即，此时，定义域为R，满足，即为奇函数，故.故选：C.7.在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和进行分类讨论判断即可.【详解】当时，与单调递增，A，B均不符合题意；当时，与单调递减，对于，当时，C不正确.故选：D.8.定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，由单调性的定义可判断得在上单调递增，再将题设不等式转化为，利用的单调性即可求解.【详解】令，因为对，且，都有，即成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，选项A正确；B选项，，选项B错误；在中，由正弦定理得，故C和D正确.故选：ACD10.已知函数的部分图象如图所示，其中的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于点中心对称C.的图象可以由向左平移个单位长度得到D.在上单调递增【答案】AC【解析】【分析】由函数图像可确定函数最小正周期，判断A；将代入，求出判断选项B；根据三角函数的图象的平移变换规律可得平移后图象的解析式可判断C；利用余弦函数的单调性可判断D.【详解】由图，知，∴，∴，因为，，则，∴，∵，∴，故A正确；，故的图象不关于点中心对称，故B错误，，可以由向左平移个单位长度得到，C正确；当时，，∴不单调，D错误，故选：AC.11.若命题“，”是假命题，则k的值可能为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】AB【解析】【分析】根据条件，将问题转化成恒成立问题，再分和两种情况讨论，即可求出结果.【详解】由题知，是真命题，当，即时，恒成立，时，不恒成立；当时，，解得，综上得，故选：AB.12.已知方程与的根分别为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】对于A：利用函数图象的对称性来判断；对于B：利用零点存在定理来判断；对于C：直接计算可得答案；对于D：做差判断大小.【详解】对于AC，方程与的根分别为，即与的交点横坐标为，与的交点横坐标为，由题知，，与的图象关于对称，与相交可得点与点关于对称，所以，即，故AC正确；设，明显其单调递增，又对于B，由零点存在定理可知，根据对称性可得，B正确；对于D，由B选项知，则，所以，D错误，故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为______.【答案】.【解析】【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】要使函数有意义，则应有，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.14.已知，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用倍角公式变形化简即可.【详解】原式.故答案为：.15.已知，，，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立.故的最小值为.故答案为：16.已知函数，若对于任意恒成立，则实数k的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设，可证为上的奇函数且单调递增，故可得恒成立，据此可求参数的取值范围.【详解】，因为，故的定义域为，令，则，故，即，其中，所以为奇函数，当时，任意，则，故，故，故为上的增函数，由为奇函数可得为上的增函数.由可得，故，故，于是恒成立.当时不等式恒成立；当时，要满足题意则需，，故.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）运用指数运算规则解决问题；（2）运用对数运算规则、换底公式等解决问题.【小问1详解】.【小问2详解】.18.已知集合，.（1）若，求集合；（2）若“”的充分不必要条件是“”，求实数k的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据不等式的解法，求得和，结合集合交集的运算，即可求解；（2）根据题意，分类讨论求得集合，结合“”是“”的充分不必要条件，即集合是的真子集，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由不等式，即，解得，即当时，集合，又由，解得，所以，所以.【小问2详解】解：由（1）知，又由，可得，当时，解得，即集合；当时，集合；当时，解得，即集合，因为“”是“”充分不必要条件，即集合是的真子集，所以当时，满足，解得；当时，不符合题意；当时，满足，解得，综上可得，实数的取值范围为.19.已知函数.（1）若，求的值；（2）若，，且，，求的值.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）先用诱导公式化简，然后转化为用表示，再根据条件列方程求解即可；（2）利用（1）的结果先求出，，然后利用展开计算，确定角的范围即可求角.【小问1详解】由已知，即，因为，即，解得；【小问2详解】依题意，由，得，解得，，∴.∵，，∴，又，∴，∴，∴.20.已知幂函数在上单调递减.（1）求函数的解析式；（2）若，求x的取值范围；（3）若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出关系式，即可求解；（2）由函数的图象与性质，把不等式转化为，结合不等式的解法，即可求解；（3）根据题意，转化为，得到，再由题意，转化为，结合一次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由幂函数在上单调递减，可得，解得，所以.【小问2详解】解：由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增，则可化为，平方得，化简得，解得，所以x的取值范围是.【小问3详解】解：由（1）知，因为对，使得都成立，所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为4，所以，因为存在，使得成立，可得，又因为，所以是关于的单调递增函数，所以，即，解得或，所以实数t的取值范围为.21.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的最值及取最值时x的值；（3）若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）最小值为－1，此时；最大值为2，此时（3）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换得到，从而根据求出最小正周期；（2）时，，整体法求出函数的最值及对应的；（3）转化为在的图象在与直线只有一个交点，画出在上的图象，数形结合进行求解【小问1详解】，故函数的最小正周期为.【小问2详解】由（1）知，因为，所以，令，则，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即时，函数有最大值，最大值为.当，即，函数有最小值，最小值为.综上，的最小值为－1，此时；最大值为2，此时.【小问3详解】因为函数在内有且只有一个零点，所以在只有一个实根，，即，即函数在的图象在与直线只有一个交点，当时，，画出在上的图象，如下：结合函数图象可知：函数在区间的图象与直线只有一个交点时，，即.22.已知定义域为的函数是奇函数，且.（1）求实数a，b的值；（2）判断函数在上的单调性并用单调性的定义证明；（3）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数以及求解问题；（2）利用作差的方法判断出函数的单调性；（3）根据函数的单调性以及恒成立问题的求解