福建省福州市八县（市、区）协作校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市八县（市、区）协作校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设，其中为虚数单位，则（）A. B. C.1 D.5〖答案〗A〖解析〗由，得，而，因此，所以故选：A.2.已知向量不共线，则向量与共线时，实数（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量不共线，得向量，由向量与共线，得，于是，所以.故选：B.3.若向量，与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反，当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得.故选：A.4.在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形〖答案〗B〖解析〗由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形状为直角三角形.故选：B.5.在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗．故选：C．6.已知复数满足，则最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆，是上述圆上点到复数对应点的距离，而，所以的最小值是.故选：A.7.已知向量，则以下说法正确的是（）A. B.方向上的单位向量为C.向量在向量上的投影向量为 D.若，则〖答案〗D〖解析〗对于A：，所以，A错误；对于B：方向上的单位向量为，B错误；对于C：，则向量在向量上投影向量为，C错误；对于D：，所以，D正确.故选：D.8.已知在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，由，得，则，，由余弦定理得，因此，依题意，，则，所以的取值范围是.故选：B.二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.)9.设复数，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，，则，A正确；对于B，由选项A知，，而，B错误；对于C，，则，，C错误；对于D，，，D正确.故选：AD.10.定义:已知两个非零向量的夹角为，把两个向量的叉乘记作:，则以下说法正确的是（）A.若，则B.C.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于D.若，则的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由，得，而，因此，又，则或，所以，A正确；对于B，，当时，，当时，，B错误；对于C，的面积，C正确；对于D，由，得，由，得，两式平方相加得，则，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD.11.如图，是边长为的正三角形，是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值可能是（）A.0 B.1 C.6 D.13〖答案〗BCD〖解析〗在正中，取中点，连接，，则，由是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，得，所以，的取值可能是1，6，13，BCD正确，A错误.故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.已知复数为纯虚数，则实数的值是__________．〖答案〗〖解析〗，由复数为纯虚数得，所以.故〖答案〗为：.13.一艘游船从海岛出发，沿南偏东的方向航行8海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行16海里后到达海岛，若游船从海岛出发沿直线到达海岛，速度为8海里/时，则需要的航行时间为__________小时．〖答案〗〖解析〗在中，，海里，海里，所以，所以海里，又游船速度为8海里/时，则需要的航行时间为小时.故〖答案〗为：.14.平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗由，得，整理得，依题意，，不等式恒成立，则，因此，于是，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值.故〖答案〗为：.四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)．（1）求实数的值；（2）若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值．解：（1）依题意，点在第四象限，即，由，得，即，所以.（2）由（1）知，，由复数是关于的方程的根，得，整理得，而，因此，解得，所以.16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面积．解：（1）由于，，则，因为，由正弦定理知，则．（2）因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．17.已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S，且______________．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．（1）求A；（2）若，点D是BC边中点，求线段AD长的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）若选①，方法一：因为，所以由正弦定理可得，又，，即，又因为C为三角形内角，，所以，又因为，所以．方法二：因为，所以由余弦定理可得，即，，又因为，所以．若选②，因为，所以，，整理可得：，解得：或，又因为，可得，所以，所以．若选③，因为，所以，可得，即．又因为，所以．（2）法一：因为，所以，，因为D是BC的中点，所以，所以，，所以当时，，即，又，即，故线段AD长的取值范围为．法二：因为D是BC的中点，所以，所以，当且仅当时，，由可知：，即，故线段AD长的取值范围为．法三：因为，所以，，在中，由余弦定理得：，因为，所以，即，整理得，将，代入整理得：，，所以当时，，即，又，即，故线段AD长的取值范围为．18.已知点G为三条中线的交点．（1）求证:（2）若点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，求证:（3）过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，，求的最小值．解：（1）令分别为的边上的中线，则，由点在上，得，显然，则，即，又点共线，于是，解得，则，因此，所以.（2）由（1）知，，而点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，因此，即，所以.（3）由（1）知，，而，，因此，又点共线，则，即，于是，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值.19.如图，在中，，点在线段上（异于两点），延长到，使得，设.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.解：（1）在中，，所以，，又在中，，由余弦定