上海市崇明区2024届高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市崇明区2024届高三二模数学试题一、填空题1.若集合，或，则__________．〖答案〗〖解析〗根据题意，.故〖答案〗为：.2.不等式的解为__________．〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：3.已知向量，若，则__________.〖答案〗〖解析〗已知向量，若，则，解得.故〖答案〗为：.4.若复数满足（为虚数单位），则__________．〖答案〗〖解析〗由，得.故〖答案〗为.5.若等差数列的首项，前5项和，则__________．〖答案〗〖解析〗因为等差数列的首项，前5项和，由等差数列的求和公式，可得，解得.故〖答案〗为：.6.已知幂函数的图象经过点，则________．〖答案〗9〖解析〗依题意，设，将代入解得：，故，则.故〖答案〗为：9.7.若的二项式展开式中的系数为10，则__________．〖答案〗1〖解析〗由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，则得，解得.故〖答案〗为：1.8.已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则__________．〖答案〗〖解析〗如图所示，因为，且则直线与所成角即为直线与所成角的大小为，可得,在直角中，可得，即.故〖答案〗：.9.已知函数为奇函数，则___________．〖答案〗〖解析〗令，则由题意为奇函数，所以当时，，此时，故，所以.故〖答案〗为：.10.某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是__________．（默认每月天数相同，结果精确到0.001）〖答案〗0.996〖解析〗设事件“至少有2名学生在同一月份出生的”，，故〖答案〗为：0.99611.已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是__________．〖答案〗〖解析〗由正弦定理可得，所以，所以，且，则或，则或，当时，，所以，，则，当时，即时，取得最小值；当时，，所以，，则，则无最值；综上所述，的最小值是，故〖答案〗为：12.已知实数满足：，则的最大值是__________．〖答案〗6〖解析〗因为故令，且，因，所以，所以，仅当时等号成立.二、选择题13.若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗对于A.，，则，成立对于B.，，；对于C.，；对于D.若，则不成立故选A.14.某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗根据频率分布条形图可知，，即；显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即；故选：C15.设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，有，所以.在区间上总存在唯一确定的，使得，所以存在唯一确定的，使得.，所以.故选B.16.已知函数的定义域为．命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数．命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数．下列说法正确的是（）A.p、q都是真命题 B.p是真命题，q是假命题C.p是假命题，q是真命题 D.p、q都是假命题〖答案〗C〖解析〗对于命题，令函数，则，此时，当函数不是奇函数，所以命题为假命题，对于命题，当时，都有，即，不可能，即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题为真命题.故选：C.三、解答题17.如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．（1）证明：因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，，知PO⊥平面ABC．（2）解：［方法一］：【最优解】定义法作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）易知平面，从而OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．［方法二］：等积法设C到平面的距离为h，由（1）知即为P到平面的距离，且．又，在中，，则由余弦定理得，则，即，则．即点C到平面POM的距离为．［方法三］：向量法如图，以O为原点，建立直角坐标系，设，，，，，，，．设平面的一个法向量，则，令，则，所以，点C到平面的距离为．18.在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影向量，且满足.（1）求值；（2）若，求的周长.解：（1）由为在方向上的投影向量，则，又，即，根据正弦定理，，在锐角中，，则，即，由，则，整理可得，解得（负值舍去）.（2）由，根据正弦定理，可得，在中，，则，所以，所以，由（1）可知，则，由，则，解得（负值舍去），根据正弦定理，可得，则，，故的周长.19.某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者120160280患慢性气管炎者154560总计135205340（1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？（2）常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值；（3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望．附：，．解：（1）假设：患慢性气管炎与吸烟无关，根据的列联表中的数据，可得，从而否定原假设，所以有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.（2）根据表格中的数据，可得：.（3）根题意，按分层抽样，得到不吸烟者人，吸烟者人，这7人里再随机选取3人，可得随机变量的可能值为0，1，2，3，则，，则随机变量的分布列为：所以，随机变量的数学期望为.20.已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点．（1）求椭圆的离心率；（2）若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标；（3）作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）由题意，，所以离心率（2）由题意，，，，所以直线的方程为：，设，显然有或两种情况，①当时，直线的倾斜角为，其与轴的交点为，则，因为，由，得：，解得（舍去）或，所以，点的坐标是②当时，此时，则，因为，由，得：，解得（舍去）或综上所述，点的坐标是或（3）假设存在定点满足题意，当的斜率存在时，设直线的方程为，，由，得，由题意，，即①．，，所以，代入①，得：，所以或，即存在直线使得直线与直线的斜率之和为2直线的方程为，直线的方程为由，得：，即所以所以当时，为定值，.当直线斜率不存在时，设，，则，，此时，满足题意．所以存在定点，使得为定值且定值为．21.已知.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；（3）若，，数列满足，．求证：当时，．（1）解：当时，，