四川省雅安市2024届高三下学期4月联考数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省雅安市2024届高三下学期4月联考数学试题（文）第I卷一、选择题1.若集合，，则B中元素的最小值为（）A. B. C. D.32〖答案〗A〖解析〗由题意可得，，所以B中元素的最小值为.故选：A.2.若向量，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，解得.故选：A.3.若圆与圆外切，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由圆与圆知，圆心分别为，半径为1，，因为两圆外切，所以，解得.故选：C.4.设，为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗如图1，当时，与不一定垂直，如图2，当时，m与n不一定垂直，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.5.若复数的实部为4，则点的轨迹是（）A.短轴长为4的椭圆 B.实轴长为4的双曲线C.长轴长为4的椭圆 D.虚轴长为4的双曲线〖答案〗C〖解析〗因为，所以，即，所以点的轨迹是长轴长为4的椭圆.故选：C.6.函数是（）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数〖答案〗B〖解析〗因为,，所以该函数为奇函数，故C,D项错误；因为,显然在上不能恒成立，故A,C项错误；又，即是的周期，故B项正确.故选：B.7.设的整数部分为，则数列的前30项和为（）A.465 B.466 C.467 D.468〖答案〗D〖解析〗当时，；当时，；当时，，，故数列的前30项和为.故选：D.8.若函数的值域为R，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，取遍所有正数，则，而，解得，所以.故选：B9.一质点的速度（单位：）与时间（单位：s）满足函数关系式，其中为常数.当时，该质点的瞬时加速度为，则当时，该质点的瞬时加速度为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，当时，，解得.当时，，所以该质点的瞬时加速度为.故选：A.10.已知函数，，则（）A.当有2个零点时，只有1个零点B.当有3个零点时，有2个零点C.当有2个零点时，有2个零点D.当有2个零点时，有4个零点〖答案〗D〖解析〗两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数，作出，的大致图象，如图所示.由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；当有3个零点时，只有1个零点；当有2个零点时，有4个零点.故选：D.11.的最小值为（）A. B.5 C. D.6〖答案〗B〖解析〗设，，，易知点的轨迹是抛物线的上半部分，又，因为为抛物线的焦点，由抛物线的定义知，等于到准线的距离，所以的最小值为，故选：A.12.在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成角分别为，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，设，因为在矩形中，，所以，因为底面，所以分别是与底面所成的角，即，所以.因为，所以，解得(负根舍去)，所以.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题13.一组样本数据的众数为______，中位数为______．〖答案〗〖解析〗将样本数据，从小排到大得到，由众数及中位数的定义知：众数为，中位数为，故〖答案〗为：，.14.若x，y满足约束条件则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗作出约束条件表示可行域，设，即，联立，解得，当直线经过点时，纵截距取得最大值3，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.15.甲、乙、丙、丁四位同学的座位要进行调整，且四位同学的座位就在他们四人之间随机调整（每人不能坐回自己的原位），则调整座位之后，甲和乙的座位恰好交换的概率为____________〖答案〗〖解析〗四位同学的所有换位情况如下图所示：由图知甲和乙的座位恰好交换的情况只有一种，故甲和乙的座位恰好交换的概率为，故〖答案〗为：16.已知定义在上的函数满足，，则______.〖答案〗〖解析〗令，得.设数列满足，，则，，所以数列是首项为2，公比也为2的等比数列，则，即，所以.故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17.已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.（1）完成下面的2×2列联表

去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组

西小组

合计

（2）判断是否有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关，说明你的理由.参考公式：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）因为东西两组的人数相等，故两小组各有60人，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，故东小组中去峨眉山的有人，去青城山的有人，设西小组中去峨眉山的人数为x,则，故，则青城山人数为35人，2×2列联表如下：

去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组402060西小组253560合计6555120（2）因为，所以有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求A；（2）若D为边上一点，且，证明：外接圆的周长为.（1）解：因，所以，即，又，所以.因为，所以.（2）证明：在中，由正弦定理，得，则，则设外接圆的半径为，则，所以外接圆的周长为.19.如图，在直三棱柱中，，，D为的中点.（1）证明：平面.（2）若以为直径的球的表面积为，求三棱锥的体积.（1）证明：连接交于点E，则E为的中点，连接，而为的中点，则，又平面，平面，所以平面.（2）解：由，为的中点，得，且，由以为直径的球的表面积为，得，解得，因此，解得，显然面积，所以.20.已知函数.（1）当时，求的单调区间;（2）定义表示不超过的最大整数，当时，证明:有两个零点，，并求的值.参考数据:，，.解：（1）的定义域为，.令，得.当时，，所以的单调递减区间为.当时，，的单调递增区间为.（2）证明：当时，，则在上单调递减，在上单调递增.，，，，由零点存在性定理知有两个零点，，且，，则，所以.21.双曲线上一点到左､右焦点的距离之差为6，（1）求双曲线的方程，（2）已知，过点的直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，解：（1）依题意可得，解得，故双曲线的方程为.（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，消去，得，则，，设，则，又，直线，直线，联立，两式相除，得，即，解得，所以点在定直线上，因为直线与直线之间的距离为，所以点到直线的距离为定值，且定值为.（二）选考题[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，O为极点，曲线M的方程为，曲线N的方程为，其中m为常数.（1）以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；（2）设，曲线M与N的两个交点为A，B，点C的极坐标为，若的重心G的极角为，求t的值.解：（1）由，得，则，所以，所以曲线M的直角坐标方程为.曲线N的直角坐标方程为.（2）因为，所以曲线N的直角坐标方程