山东省济南市第四十六中学高三数学理期末试题含解析

山东省济南市第四十六中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x参考答案：A【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（

）A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数参考答案：A3.如果y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①

函数y=f（x）在区间内单调递增；②

函数y=f（x）在区间内单调递减；③

函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④

当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤

当x=时，函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的个数为A.1个

B.2个

C.3个

D.5参考答案：A4.当m＝6，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6

B．30

C．120

D．360参考答案：C5.为得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度均为正数），则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a3=3+a1，则S9的值为（）A．15 B．27 C．30 D．40参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵2a3=3+a1，∴2（a1+2d）=3+a1，可得a1+4d=3=a5．则S9==9a5=27．故选：B．7.已知命题，那么命题为A．

B．C．

D．参考答案：A略8.已知函数，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范A．

B．

C．

D．参考答案：D9.设样本数据的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数，），则的均值和方差分别为（

）（A）

（B）

（C）

（D） 参考答案：A10.已知点表示N除以m余n，例如，，则如图所示的程序框图的功能是（

）A．求被5除余1且被7除余3的最小正整数

B．求被7除余1且被5除余3的最小正整数C.求被5除余1且被7除余3的最小正奇数

D．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是定义在R上的偶函数，满足且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于函数的判断：（1）是周期函数；（2）的图象关于直线对称；（3）在[0，1]上是增函数；（4）其中正确判断的序号

.参考答案：（1）（2）（4）12.在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（

）参考答案：B略13.设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=____________.参考答案：2略14.函数，设，若恒成立，则实数的取值范围为_____

__．参考答案：略15.在△ABC中若∠A=，AD是∠BAC的平分线，且3=2,则cosB=________.参考答案：如图所示，由可知,不妨令BD=2m，DC=3m，∵AD是∠BAC的角平分线∴由面积比及面积公式（或角平分线定理）可知，不妨令AB=2t，AC=3t，且令AD=，在△ABC中，由余弦定理知即得,又△ABC中，由余弦定理知=又可得16.已知函数（＞0）.在内有7个最值点，则的范围是_______________.参考答案：略17.已知数列满足，，则的最小值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）给定椭圆：．称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由。参考答案：解析：（Ⅰ），椭圆方程为，

…………4分准圆方程为．

……5分（Ⅱ）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线也垂直．

………………7分②当都有斜率时，设点，其中．设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则由消去，得．

………9分由化简整理得：．

因为，所以有．…10分设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直．

…11分综合①②知垂直．

……12分19.已知函数.（1）当时，比较与的大小，并证明；（2）令函数，若是函数的极大值点，求a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）分析】（1）当时，，令，求导判断单调性即可求解；（2），令，讨论m的范围即可求解【详解】（1）当时，，令则所以函数在上单调递减，且所以当时，，即；当时，，即当时，，即.（2），令令，则①

当时，恒成立，所以在上递减，且所以时，在上递增，时，在上递减，此时是函数的极大值点，满足题意.②

当时，，使得当时，所以在上递增，且所以时，在上递减；时，在上递增，此时是函数的极小值点，不合题意.综合得，解得.【点睛】本题考查函数与导数的综合，函数极值与最值，转化化归思想，分类讨论，准确推理计算是关键，是中档题20.已知函数f（x）=x﹣ax（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）问题转化为恒成立，令g（x）=x2+x﹣ex，根据函数的单调性求出b的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最小值即可．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=x﹣ex，原题分离参数得恒成立，令g（x）=x2+x﹣ex，g′（x）=x+1﹣ex，g″（x）=1﹣ex＜0，故g′（x）在22．将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C．（1）求出C的普通方程；（2）设直线l：x+2y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【答案】【解析】【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出C的参数方程，即可求出C的普通方程；（2）求出P1（2，0），P2（0，1），则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k=2，可得直线方程，即可求出极坐标方程．【解答】解：（1）设（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C上的点（x，y），则有，∵，∴；（2）解得：，所以P1（2，0），P2（0，1），则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k=2，于是所求直线方程为．化为极坐标方程得：4ρcosθ﹣2ρsinθ﹣3=0，即．21.已知函数.（1）若在，处取得极值.①求、的值；②若存在，使得不等式成立，求的最小值；（2）当时，若在上是单调函数，求的取值范围.参考答案：（1）①∵，定义域为，∴，∴.又∵，且，∴的最小值为.22.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG?平面PAD，CE?平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由?=0，可解a，然后求得的值．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a