高考数学二轮复习 第二篇 第14练 空间点、线、面的位置关系精准提分练习 文-人教版高三数学试题

第14练空间点、线、面的位置关系[明晰考情]1.命题角度：空间线面关系的判断；空间中的平行、垂直关系.2.题目难度：中档难度.考点一空间线面位置关系的判断方法技巧(1)判定两直线异面的方法①反证法；②利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线.(2)模型法判断线面关系：借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断.(3)空间图形中平行与垂直的实质是转化思想的体现，要掌握以下的常用结论①平面图形的平行关系：平行线分线段成比例、平行四边形的对边互相平行；②平面图形中的垂直关系：等腰三角形的底边上的中线和高重合、菱形的对角线互相垂直、圆的直径所对圆周角为直角、勾股定理.1.已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线答案D解析在平面内过一点，只能作一条直线与已知直线平行.2.下列说法正确的是()A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB.若直线a在平面α外，则a∥αC.若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD.若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线答案D解析A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内.故选D.3.(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A解析A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.4.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，则B1C与AB的位置关系为________.答案垂直解析连接BO，∵AO⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，∴AO⊥B1C.又侧面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BO，又AO∩BO＝O，AO，BO⊂平面ABO，∴B1C⊥平面ABO.∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB.考点二空间角的求解方法技巧(1)对于两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置.(2)直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影.5.(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DB′，由题意，得DB′＝eq\r(12＋1＋12)＝eq\r(5)，B′B1＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5).在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′Beq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×2eq\r(5)cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝eq\f(\r(5),5).故选C.6.已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的大小为()A.90° B.45°C.60° D.30°答案D解析设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线.由此可得GF∥AB，且GF＝eq\f(1,2)AB＝1，GE∥CD，且GE＝eq\f(1,2)CD＝2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角.又EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，∴sin∠GEF＝eq\f(GF,GE)＝eq\f(1,2)，又∠GEF为锐角，∴∠GEF＝30°.∴EF与CD所成的角的大小为30°.7.已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，AD的中点，则直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(6),6)答案B解析连接AE，BD，过点F作FH⊥BD交BD于H，连接EH，则FH⊥平面BDD1B1，∴∠FEH是直线EF和平面BDD1B1所成的角.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∵E，F分别是棱BB1，AD的中点，∴在Rt△DFH中，DF＝1，∠FDH＝45°，可得FH＝eq\f(\r(2),2)DF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△AEF中，AF＝1，AE＝eq\r(AB2＋BE2)＝eq\r(5)，可得EF＝eq\r(AF2＋AE2)＝eq\r(6).在Rt△EFH中，sin∠FEH＝eq\f(FH,EF)＝eq\f(\r(3),6)，∴直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是eq\f(\r(3),6).8.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为()A.eq\f(2\r(3),5) B.eq\f(2\r(39),13)C.eq\f(5,4) D.eq\f(4,3)答案B解析如图，取AC的中点E，连接BE，可得eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝4×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝12＝5×2eq\r(3)×cosθ(θ为eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(EB,\s\up6(→))的夹角)，所以cosθ＝eq\f(2\r(3),5)，sinθ＝eq\f(\r(13),5)，又因为BE⊥平面AA1C1C，所以所求角即为eq\f(π,2)－θ，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)))＝eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(2\r(39),13).考点三空间线、面关系的综合问题方法技巧解决与翻折有关的问题的两个关键(1)要明确翻折前后的变化量和不变量.一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化.(2)在解决问题时，要比较翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形.9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为()A.6eq\r(2)＋4eq\r(5) B.6eq\r(2)＋2eq\r(5)C.3eq\r(2)＋4eq\r(5) D.3eq\r(2)＋2eq\r(5)答案A解析∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点，∴EF∥AD1∥BC1.∵EF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴EF∥平面BCC1B1.由正方体的棱长为4，可得截面是以BE＝C1F＝2eq\r(5)为腰，EF＝2eq\r(2)为上底，BC1＝2EF＝4eq\r(2)为下底的等腰梯形，故周长为6eq\r(2)＋4eq\r(5).10.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(点A′不与点F重合)，则下列命题中正确的是()①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③答案C解析①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大，故选C.11.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.正确的为________(把所有正确的序号都填上).答案①④解析由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，∵PB⊂平面PAB，∴PB⊥AE，∴①正确；由正六边形的性质计算可得PA＝AD，故△PAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，∴④正确.12.等腰直角三角形BCD的腰长为2，将平面BCD沿斜边BD翻折到平面BAD的位置，翻折后如图所示，O为BD的中点，若AC＝2，则三棱锥A－BCD的体积为________.答案eq\f(2\r(2),3)解析由题意知，AB＝AD＝CB＝CD＝2，从而根据等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ABD可求得AO＝CO＝eq\r(2)，又AC＝2，所以在△AOC中，AC2＝AO2＋CO2，所以AO⊥CO.因为AO是等腰直角三角形ABD斜边上的中线，所以AO⊥BD.因为CO∩BD＝O，CO，BD⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD，则其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3).1.α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是()A.α，β都平行于直线l，mB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD.l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β答案D解析对于A，l，m应相交；对于B，应考虑三个点在β的同侧或异侧两种情况；对于C，l，m应相交，故选D.2.已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥α D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案B解析对于A，m，n还可能异面、相交，故A不正确；对于C，n还可能在平面α内，故C不正确；对于D，n可能平行于平面α，还可能在平面α内，故D不正确；对于B，由线面垂直的定义可知正确.3.(2018·长沙模拟)如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起，连接AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是()A.AC∥平面BEFB.B，C，E，F四点不可能共面C.若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCDD.平面BCE与平面BEF可能垂直答案D解析A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，则四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF；B选项，若B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C选项，连接FD，在平面ADEF内，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D选项，延长AF至G，使AF＝FG，连接BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾.解题秘籍线面关系的判断要结合空间模型(如长方体、正四面体等)或实例，以定理的结论为依据进行推理，而不能主观猜想.1.已知直线a∥平面α，则“直线a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析若直线a⊥平面β，直线a∥平面α，可得平面α⊥平面β；若平面α⊥平面β，又直线a∥平面α，那么直线a⊥平面β不一定成立.如正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面BCC1B1，直线AD∥平面BCC1B1，但直线AD⊂平面ABCD；直线AD1∥平面BCC1B1，但直线AD1与平面ABCD不垂直.综上，“直线a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要条件.2.如图，在三棱锥P－ABC中，不能得出AP⊥BC的条件是()A.AP⊥PB，AP⊥PCB.AP⊥PB，BC⊥PBC.平面PBC⊥平面APC，BC⊥PCD.AP⊥平面PBC答案B解析A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A可以得出AP⊥BC；C中，因为平面BPC⊥平面APC，且平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥平面APC.又AP⊂平面APC，所以PA⊥BC，故C可以得出AP⊥BC；D中，由A知D可以得出AP⊥BC；B中条件不能得出AP⊥BC，故选B.3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的命题是()A.①② B.②③C.①④ D.③④答案B解析两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确.

4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.5.在如图所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，直线BF与平面AD1E的位置关系是()A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.在平面内答案A解析取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，∴四边形BFOE是平行四边形，∴BF∥EO.∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面.其中不正确的结论是()A.①B.②C.③D.④答案B解析作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图中的六边形MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论②不正确.7.空间四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与()A.AC，BD之一垂直 B.AC，BD都垂直C.AC，BD都不垂直 D.AC，BD不一定垂直答案B解析连接AN，CN，∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB，则AN＝CN.在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可证MN⊥BD.故选B.8.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错.故选B.9.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.答案平行解析在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE，E