1.1.3 因式分解-2024年初升高数学无忧衔接

第第页第1.1章数与式1.1.3因式分解初中要求能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.高中要求掌握因式分解的方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等.1.乘法公式平方差公式a2完全平方公式(a±b)立方和公式a3立方差公式a3三数和平方公式(a2.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式分解因式.因式分解的常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，待定系数法和因式定理法.无特殊说明，一般只要求在有理数的范围内分解到不能再分解为止.比如，x4−4在有理数范围内因式分解的结果是若在实数范围内因式分解的结果是(x【题型1】提公因式法和公式法解题技巧提炼因式分解，先确定每项是否存在公因式，若有先提公因式；公式法，指的是利用平方差公式、完全平方公式、立方和差公式等进行因式分解.【典题1】分解因式：2x解析原式=2yx变式练习1.分解因式：2m答案2m解析原式=2mn【题型2】十字相乘法【典题1】把下列各式因式分解：(1)12x2−5x−2；(2)5解析(1)将12x2分解为2x∙6x写在左列，将−2分解为1×(−2)写在右列，交叉相乘、相加，得到2x，不是一次项不适合；再将12x2分解为3x∙4x写在左列，将−2分解为2x1−2x1−−26x不合适3x−23x−8x=−5x14x合适即12x(2)将原式按x的降幂排列5x2−8视y为常数.将5x2分解为x∙5x写在左列，将−8y2分解为4y×(−2y)写在右列，交叉相乘、相加，得到18xy，不是一次项不适合；再将5x2分解为x∙5x写在左列，将x4y−2xy+20xy=18xyx4y−2xy+20xy=18xy−2y5x不合适x2y−4xy+10xy=6xy−4y5x合适即5x(3)将原式按x的降幂排列，视其为关于x的二次三项式，视y为常数，再十字相乘.x2=x=x=x−7y=x−7y变式练习1.利用十字相乘法因式分解下列各式：(1)x2−2x−15(2)x2−5x+6答案(1)x2−2x−15=(x−5)(x+3)；(2)(3)3x2【题型3】分组分解法把多项式分成几组分别因式分解，若每组有一相同因式，便可提公因式达到因式分解，这种方式叫做分组分解法.【典题1】分解因式：(1)xy−1+x−y；(2)2ax−10ay+5by−bx；(3)4x2解析(1)xy−1+x−y=xy+x−y−1=xy+1(2)2ax−10ay+5by−bx=(2ax−bx)−(10ay−5by)=x2a−b(3)4=2x(2x−1)+3y(2x−1)=(2x−1)(2x+3y).变式练习1.因式分解x答案(x−y−1解析x=x=(x−y)2.如果△ABC的三边a,b,c满足a3−形状.答案等腰三角形或直角三角形解析因为a3所以a3即(a−b)a(a−b)a所以a=b或因此△ABC【题型4】添项与拆项法因式分解中，用公式法有时总感觉缺一项或数字不对，分组分解时或少一项或多一项分不出来，这些烦恼有时可用添项与拆项法处理.【典题1】因式分解x3解析方法1x3=x3+=x=x+1方法2x3=x3+2=xx=xx−2=x−2方法3x3=x=x+1=x+1=x+1变式练习1.因式分解x答案x解析x=x=x=x【题型5】待定系数法【典题1】因式分解2解析方法1因为2x所以可设2x2则2x比较系数可得&2m+n=1&3m−n=14&mn=15，解得m=3,n=−5所以2x方法2因为2x所以可设2x2由于恒等式，x,y可取任何实数值，令x=0,y=0，得mn=−15；令x=0,y=1得mn+3m−n+1=0；解得m=3,n=−5，所以2x变式练习1.因式分解x答案x解析设x所以x比较系数得&a+b=−1①&ab+6=4②&5a+b=3③，由①②(所求a,b必须满足整个方程组)所以x1.若x2−ax−15=(x+1)(x−15)则答案142.x2答案3,1.3.分解因式：(1)a5b−ab；(2)答案ab(a−1)(a+1)a2解析(1)a5(2)a=(m+n)a4.因式分解x答案(x−y)(x−3)解析x=(x=xx−y=(x−y)(x−3).(提公因式)5.因式分解x答案(x−1)解析原式==x(x+1)(x−1)−8(x−1)=(x−1)x26.因式分解2答案x−2y+2解析因为2设2即2比较多项式两边同类项的系数可得m+2n=3n−2m=4mn=−2，解得故2x7.因式分解x答案(x−1)解析x38.分解因式：x3答案(x+1)(x−2解析x3−39.△ABC三边a，b，c满足a2+答案等边三角形解析∵a∴2a⇒a⇒(a−b)∴a=b=c，即三角形是等边三角形.10.已知x−y=1，xy=2，求x