高考数学一轮复习 第十一章 算法初步、推理与证明、复数 分层限时跟踪练57-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(五十七)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确【解析】因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．【答案】C2．[x]表示不超过x的最大整数，例如：[π]＝3.S1＝[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝3，S2＝[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝10，S3＝[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝21，…，依此规律，那么S10等于()A．210B．230C．220D．240【解析】∵[x]表示不超过x的最大整数，∴S1＝[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝1×3＝3，S2＝[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝2×5＝10，S3＝[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋…＋[eq\r(15)]＝3×7＝21…，Sn＝[eq\r(n2)]＋[eq\r(n2＋1)]＋[eq\r(n2＋2)]＋…＋[eq\r(n2＋2n)]＝n(2n＋1)，∴S10＝10×21＝210.【答案】A3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P­ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,64) D.eq\f(1,27)【解析】正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).【答案】D4.(2015·上海模拟)如图11­2­3所示，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()图11­2­3A．6 B．7C．8 D．9【解析】由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋eq\f(6＋6n－1,2)×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．【答案】C5．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值eq\f(\r(3),2)a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值()A.eq\f(\r(6),3)a B.eq\f(\r(6),4)aC.eq\f(\r(3),3)a D.eq\f(\r(3),4)a【解析】正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为eq\f(\r(3),4)a2，正四面体的体积为eq\f(\r(2),12)a3，则有eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝eq\f(\r(2),12)a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝eq\f(\r(6),3)a.【答案】A二、填空题6．(2015·枣庄模拟)在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立；在凸四边形ABCD中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立；在凸五边形ABCDE中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立，…，依此类推，在凸n边形A1A2…An中，不等式eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥____________成立．【解析】∵eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)＝eq\f(32,π)，eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)＝eq\f(42,2π)，eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)＝eq\f(52,3π)，…，∴eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)(n∈N*，n≥3)．【答案】eq\f(n2,n－2π)(n∈N*，n≥3)7．在平面几何中：△ABC中∠C的平分线CE分AB所成的线段的比为eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE)(如图11­2­4(1))．把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图11­2­4(2))，面DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于E，则类比得到的结论是______________．图11­2­4【解析】由平面中线段的类比空间中面积的比可得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).【答案】eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)8．(2015·陕西高考)观察下列等式1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，…，据此规律，第n个等式可为______________．【解析】等式的左边的通项为eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，前n项和为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；右边的每个式子的第一项为eq\f(1,n＋1)，共有n项，故为eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n).【答案】1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…eq\f(1,2n)三、解答题9．观察下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2016是第几行的第几个数？【解】(1)∵第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝eq\f(2n－1＋2n－1·2n－1,2)＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024＜2016＜2048，∴2016在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2016－1024＋1＝993，知2016是第11行的第993个数．10．(2015·沈阳二模)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1写出类似的性质．【解】类似的性质为：若M、N是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明：设点M、P的坐标分别为(m，n)、(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理，y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2.则kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(\f(b2,a2)x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．(2015·南昌模拟)如图11­2­5所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．图11­2­5若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝eq\f(ma＋nb,m＋n).用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是()A．S0＝eq\f(mS1＋nS2,m＋n) B．S0＝eq\f(nS1＋mS2,m＋n)C.eq\r(S0)＝eq\f(m\r(S1)＋n\r(S2),m＋n) D.eq\r(S0)＝eq\f(n\r(S1)＋m\r(S2),m＋n)【解析】在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF＝eq\f(ma＋nb,m＋n)类比到关于△OEF的面积S0与S1，S2的关系是eq\r(S0)＝eq\f(m\r(S1)＋n\r(S2),m＋n).【答案】C2．(2015·杭州模拟)设f为实系数三次多项式函数．已知五个方程式的相异实根个数如下表所述：f(x)－20＝01f(x)＋10＝01f(x)－10＝03f(x)＋20＝01f(x)＝03关于f的极小值α，试问下列选项中正确的是()A．0<α<10 B．－20<α<－10C．－10<α<0 D．α不存在【解析】f(x)分别向上向下平移10个单位和20个单位分别得到f(x)＋10，f(x)＋20，f(x)－10，f(x)－20，由题意可近似画出f(x)的草图，由图可知f(x)极小值α∈(－10,0)．【答案】C3．(2015·长沙一模)如图11­2­6所示，小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量eq\o(OA,\s\up12(→))围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sineq\f(θ,6)＋coseq\f(θ,6)＝________.图11­2­6【解析】从题图可得，向量eq\o(OA,\s\up12(→))转了6个60°的角，6个120°的角，∴θ＝6×60°＋6×120°＝1080°，所以sineq\f(θ,6)＋coseq\f(θ,6)＝sin180°＋cos180°＝－1.【答案】－14．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________．【解析】依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有eq\f(nn＋1,2)个“整数对”，注意到eq\f(10×10＋1,2)<60<eq\f(11×11＋1,2)，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．【答案】(5,7)5．(2015·陕西第二次质量检测)如图11­2­7，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，E为棱CC1的中点．图11­2­7(1)求证：B1D⊥AE；(2)求证：AC∥平面B1DE.【证明】(1)如图，连接BD，则BD∥B1D1.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.∵AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中点F，连接AF，CF，EF，则FC∥B1E，∴CF∥平面B1DE.∵E，F分别是CC1，BB1的中点，∴EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC.又BCeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AD，∴EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED.∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE，∴AF∥平面B1DE.∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE.又A