河南省焦作市武陟县2023-2024学年九年级上学期阶段性考试二数学试题（含答案解析）

2023—2024学年上学期阶段性评价卷二九年级数学（人教版）注意事项：1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合；据此即可作答．【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故该选项是正确的；故选：D2.下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程根据解一元二次方程的方法直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适的方法，进行判断即可．【详解】解：A.适合用直接开平方法，符合题意；B.，适合用因式分解法，符合题意；C.适合用公式法，符合题意；D.适合用配方法法，符合题意；故选：B．3.如图，点A，B，C在上，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理得到，根据题意列出算式，计算即可．本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【详解】解：由圆周角定理得，∵∴，解得，，故选：A．4.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）A.杯 B.立 C.比 D.曲【答案】C【解析】【分析】根据图形平移的性质解答即可．本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．【详解】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到，C是利用图形的平移得到．故选：C．5.如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，由图象中抛物线在直线上方时x的取值范围求解．解题关键是掌握二次函数与不等式的关系．【详解】解：由图象可得在点D，B之间时，二次函数图象在一次函数的上方，∵，∴当时，则，故选：C6.如图，在平面直角坐标系中，把绕原点O旋转得到，点B的坐标为，则点D的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称的性质，由“把绕原点O旋转得到”得，点与点关于原点对称，则它们对应的横坐标互为相反数，对应的纵坐标互为相反数，即可作答．【详解】解：∵把绕原点O旋转得到，∴点与点关于原点对称，∵点B的坐标为∴点D的坐标为故选：C7.二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线与一元二次方程的解；根据函数图象得到该函数的最小值，再根据一元二次方程有实数根，可得的范围，从而可得结果．【详解】解：由图可知：二次函数的最小值是，∵一元二次方程有实数根，∴一元二次方程有实数根，即与有交点，∴，解得：，∴的最大值是，故选：A．8.如图，的内接四边形中，，，，，分别以四边形的四条边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，由圆周角定理得出是的直径，由勾股定理求出，，再根据割补法求出阴影部分面积即可．本题考查了圆内接四边形，勾股定理，掌握圆周角定理，勾股定理，圆的面积公式，直角三角形的面积公式等知识是解决问题的关键．【详解】解：如图，连接，∵的内接四边形中，，∴是的直径，∵，，∴，∵，，∴，∴阴影部分面积为，故选：B．9.抛物线与直线在同一直角坐标系中的图象可能是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象，根据二次函数的图象及一次函数的图象与系数的关系逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．【详解】解：A、抛物线与y轴的交点为，直线与y轴的交点为，抛物线和直线与y轴交点不相同，故本选项错误，B、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，则a的取值矛盾，故本选项错误；C、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，则a的取值矛盾，故本选项错误；D、由抛物线可得：，，由一次函数图象得：，则，故本选项正确；故选：D．10.如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（）A.2 B.2.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答．【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，∴，∵，，，∴，∵点D是的中点，∴，∴，由旋转得：，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5，∴长的最小值是2.5，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若二次函数的图象满足：①开口向上；②与y轴交于点，这个二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查构造二次函数．根据开口向上，得到，与y轴交于点，得到，进行构造即可．【详解】解：设抛物线的解析式为，∵抛物线的开口向上，与y轴交于点，∴，，∴二次函数可以为：；故答案为：（答案不唯一）12.如图，已知与关于点A成中心对称，若，那么的长为______．【答案】10【解析】【分析】本题主要考查了中心对称的性质和全等三角形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．先根据中心对称的性质得到，得到，进而可得出的长．【详解】解：与关于点A成中心对称，，，，，故答案为：10．13.如图，半圆的半径为4，将三角板角的顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则圆心到的距离为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形特征，连接，过点O作于点C，先得出，则，进而得出，即可根据勾股定理求解．【详解】解：连接，过点O作于点C，∵，∴，∵，∴，∴，根据勾股定理可得：，故答案为：．14.第19届亚洲运动会于2023年9月23日在浙江杭州举行了开幕式，受到了全世界人民的关注.中国某天才跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面，运动过程中的最高点B距水面．与点A的水平距离为（其他相关数据见图中标注）．根据上述信息，可推断出入水点C与池边的水平距离为______m．【答案】4【解析】【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数的解析式，先构建平面直角坐标系，结合题干信息，得顶点为点B，接着求出解析式，再代入点C的纵坐标为，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：以点A为平面直角坐标系的原点O，跳台所在的水平面为轴，如图建立平面直角坐标系，如图所示：则点B的坐标为，故设该抛物线的解析式为，∵点A的坐标为,则解得∴该抛物线的解析式为∵点C的纵坐标为∴解得，（舍去）结合图形信息，则可推断出入水点C与池边的水平距离为．故答案为：15.如图，中，，，P为三角形内一点．，则的度数是______．【答案】或度【解析】【分析】本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，根据勾股定理得，根据勾股逆定理判断，是直角三角形，即可作答．【详解】解：∵，，故把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示：由旋转性质得则，∴，∵，∴，故，即，故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.解方程：（1）；（2）（用公式法）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简，再根据直接开方法即可求解；（2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．【小问1详解】∴；【小问2详解】∴．17.如图，已知矩形的边经过圆心O，点E，F分别是边，与的交点，，，，求的直径长．【答案】的直径长为5【解析】【分析】本题考查了勾股定理和矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．连接，作于点G，则，设的半径是R，在中利用勾股定理即可得到一个关于R的方程，解方程求得半径，则圆的直径即可求解．【详解】解：连接，作于点G，矩形，，四边形是矩形，，设的半径是R，则，，在中，，即，解得：，则的直径是5．18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．（1）将先向左平移1个单位，再向上平移5个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；（2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）画出点旋转到点的过程中所经过的路径．【答案】（1）图见解析，点的坐标为（2）点的坐标为（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了图形变换．（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后得出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可，然后得出点的坐标即可；（3）根据旋转可得点旋转到点的弧即可．【小问1详解】解：如图所示即为所求，点的坐标为【小问2详解】如图所示即为所求，点的坐标为【小问3详解】如图，半圆即为所求【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，熟练掌握和灵活运用这些知识点是解题的关键．19.已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）若方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，矩形的面积，运用了不等式和方程的思想，（1）根据方程有两个实数根可知，求解即可得出的取值范围；（2）根据根与系数的关系和矩形的面积公式得到关于的方程，求解即可；解题的关键是掌握：（1）式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根；（2）一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．【小问1详解】解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，∴，解得：，∴的取值范围为；【小问2详解】∵方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，∴，∴，解得：，，由（1）知：，∴，∴的值为．20.如图，，，，的延长线交于点F．求证：与互补．【答案】见解析【解析】【分析】此题主要考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理证明即可，解题的关键是熟知全等三角形的性质与三角形内角和等于．【详解】∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即与互补．21.近年来，河南省政府将种植业作为重要的支柱型产业来发展，补贴政策也逐年完善和加强，河南省某市为了扩大绿色蔬菜种植规模，决定对某种蔬菜的种植实行政府补贴政策，规定每种植一亩这种藏菜一次性补贴菜农若干元，经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系，随着补贴数额x的不断增大，种植亩数y也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴政策前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少元?（2）分别求出政府补贴政策实施后，y与x之间的函数关系式和z与x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少?【答案】（1）在政府未出台补贴政策前，该市种植这种蔬菜的总收益额为7200000元（2）y与x之间的函数关系式为；z与x之间的函数关系式为；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为350元【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用和一次函数的应用．（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，，利用二次函数最值问题求最大值．【小问1详解】解：政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为（元）【小问2详解】解：设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：，分别把点，代入得，，，解得：，，种植亩数与政府补贴的函数关系为：，每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为；【小问3详解】解：由题意：，∴当，即政府每亩补贴350元时，总收益额最大．22.如图，中，，，交以为直径的半圆O于点D，E．连接，交于点F．（1）求证：；（2）若点F是中点，，时，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由圆周角定理推论可得，根据等腰直角三角形的性质可得，根据，且，即可得出，则可证明，即可得出答案；（2）由可得，根据勾股定理可得，由（1）中结论可得，由，，可证明，则，可得的长，进而求出的长．【小问1详解】∵是的直径，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴；【小问2详解】∵点F是中点，∴，∴，在中，，∴，∵，，∴，