高二教案,空间向量

空间向量（2）长度、距离问题知识点1、平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱2、向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的3、共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使①或对空间任一点，有②或③上面①式叫做平面的向量表达式4、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。5、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。6.、空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。。（3）空间向量的直角坐标运算律：①若，，则，，，，，。②若，，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（4）模长公式：若，，则，（5）夹角公式：。（6）两点间的距离公式：若，，则，或8、空间的距离（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。点到平面的距离：点Ｐ到平面的距离为点Ｐ到平面的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法（2）异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。9．应用abEabEF如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线a与b之间的距离是；ABCABCα如右图所示，已知AB是平面α的一条斜线，为平面α的法向量，则A到平面α的距离为；（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。空间向量与立体几何空间向量及其运算立体几何中的向量方法空间向量与立体几何空间向量及其运算立体几何中的向量方法空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离直线的方向向量与平面的法向量用空间向量证平行与垂直问题求空间角求空间距离ABCABCDOS图2例1、如图2，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和之间的距离？分析：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，。，。令向量，且，则，，，，。异面直线和之间的距离为：。题型2：点面距离ＡＢＣＤＡＢＣＤＧＥＥＥＦＥＯＨＥ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离。解法一：连结ＢＦ，ＢＧ，，又Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，。，，，．解法二．Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＥＦ／／ＢＤ，Ｂ到平面ＧＥＦ的距离为ＢＤ上任一点到平面ＧＥＦ的距离，ＢＤＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ，又ＧＣ平面ＡＢＣＤ，ＥＦ平面ＡＢＣＤ，ＥＦＧＣ，ＥＦ平面ＧＥＦ，平面ＧＥＦ平面ＧＣＨ，过Ｏ点作ＨＧ，则平面ＧＥＦ，为Ｏ到平面ＧＣＨ的距离，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距离。由解法一知：，由∽得。思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。题型6：线面距离BACDBACD对角线，D是AC的中点。（1）求点到直线AC的距离。（2）求直线到平面的距离。解析：（1）连结BD，，由三垂线定理可得：，所以就是点到直线AC的距离。在中．。（2）因为AC与平面BD交于ＡＣ的中点Ｄ，设，则//DE，所以//平面，所以到平面BD的距离等于Ａ点到平面BD的距离，等于Ｃ点到平面BD的距离，也就等于三棱锥的高。，，所以，直线到平面BD的距离是。思维点拔：求空间距离多用转化的思想。三、课堂练习1、已知四边形ABCD中，=－2，=5+6－8，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_____________2、已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则||的值是__________3、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为。4、已知+3与7－5垂直，且－4与7－2垂直，则〈，〉=_______答案：1.解析：∵=++，=++，两式相加，得2=（+）+（+）+（+）∵E是AC的中点，故+=同理，+=∴2=+=（－2）+（5+6－8）=6+6－10∴=3+3－5答案：3+3－52、解析：设点P（x，y，z），则由=2，得（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），即则||==答案：3、解：建立坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），M（1，，1），C（0，1，0），N（1，1，）∴=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）故·=0×1+×0+1×=，||==，||==∴cosα===∴α=arccos4、解析：由条件知（+3）·（7－5）=7||2－15||2+16·=0，及（－4）·（7－2）=7||2+8||2－30·=0两式相减得46·=23||2，∴·=||2代入上面两个式子中的任意一个，即可得到||=||∴cos〈，〉===∴〈，〉=60°答案：60°课后作业：1、长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。2、如图所示，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B－AC－E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。3、，则下列式子中与相等的是（）A－++ B++C－+ D－－+答案：1、解析：（1）方法一：如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4