（全国3卷）2017年理科数学真题（含答案解析）

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标III）

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.已知集合/=(x，Hx+y=1,B=（x,Ay-xCl则z6中元素的个数为

22

A.3B.2C.1D.0

2.设复数z满足（1+i）z=2i,贝NN,

Vy/~

F

A.B.C.2D.2

22

3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期

间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.学#科&网

根据该折线图，下列结论错误的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4.(X+y)(2X-p)5的展开式中X3y3的系数为

A.-80B.-40C.40D.80

5.己知双曲线G匕一匕=(心。力＞。)的一条渐近线方程为£5一一

x+y=有公共焦

2211

y=x,且与椭圆

ab2123

点，则。的方程为

x-y=—B.x-y=C.x-y-D.x-y-

A.22222222

1111

8104554—43

6.设函数4M=COS(A+),则下列结论错误的是

o——

8对称

A.仆)的一个周期为-2TTB.片期)的图像关于直线后

3

C.4X+TT)的一个零点为D［。的哗(,TT)单调递减

62

7.执行下面的程序框图，为使输出S的值库瓯确入的正整数/V的最小值为

r51^,卑00,利x

1.芋？/i1^/

匕制(结束1

1------------|E1|

A.5B.厂C.3D.2

8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为

,-3TT-TT-TT

A.nB.C.D.

424

9.等差数列a的苜项为」，公差不为0.若印，左，永成等比数列，则

a前6项的和为

nn

A.-24B.-3C.3D.8

XV

10.已知椭圆C:2Z2

221

+=,(a>d>0)的左、右顶点分别为4,A,且以线段44为直径的圆与直

线

b

bx-ay+2ab=G相切，贝!]C的离心率为

1

D.

eg3

11.已知函数fX=X-x+ae-+e-+有唯一零点，则

a=

()22('IXi)

-IB.彳八7

D.1

12在趣ABCD中，AB=1AD=2动感在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD,

则+的最大值为厂厂

A.3B.22C.5D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x-y0,则z=3x-4y的最小值为

+-.

13.若x,y满足约束条件

xy20

y0

14.设等比数列

a满足+&=—1,ai—忠——3,贝Ua4—.

n

x+1,x0,1

15•设函数，（M='向满）1的x的取值范围是

足---------0

2sx0,2

16a0为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边力。所在直线与ab都垂直，斜边

Z6以直线ZC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线28与a成60。角时，28与。成30。角；

②当直线与a成60。角时，Z8与。成60。角；

③直线28与a所成角的最小值为45°；

④直线与a所成角的最小值为60°；

其中正确的是。（填写所有正确结论的编号）J«

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知siru4+3cos/l=0,a=27,b=2.

（1）求c；

（2）设D为8c边上一点，且力„/G求的面积.

18.（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶

降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）

有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶；如

果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温

数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为八单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量〃（单位:

瓶）为多少时，P的数学期望达到最大值？

19.（12分）

如图，四面体中，A/I8C是正三角形，A/CZ?是直角三角形，/AB—CBD,AABD.

（1）证明：平面/血平面Z6C；

（2过的平面交8。于点E若平面/口:把四面体Z6C。分成体积相等的两部分，求二面角。~/昆。

的余弦值.

20.（12分）

已知抛物线Gw=2x,过点（2,0）的直线/交。与46两点，圆例是以线段为直径的圆.

（1）证明：坐标原点。在圆例上；

（2）设圆例过点尸（4,-2）,求直线/与圆例的方程.

21.（12分）

已知函数/-(%)=x-1-alnx.

（1）若f（M0,求a的值;

111

（2）设Z77为整数，且对于任意正整数“，一一…一

（1+）（1+）（<m,求力的最小值.

2222n

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修44：坐标系与参数方程］（10分）

=（f为参数），直线人的参数方程为

2+,

xt

生直角坐标系xQ）/中，直线力的参数方程为

ykt,

x=-2+m,

m

（/77为参数）.设力与〃的交点为尸，当彳变化时，尸的轨迹为曲线C

k

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设6：xXcos的sin。-2=0,例为6与。的

交点，求例的极径.

23.［选修45：不等式选讲］（10分）

已知函数/"（X）=IA+1|-|I.

（1）求不等式“X）>1的解集；

（2）若不等式“X）ZA2-X+/77的解集非空，求力的取值范围.

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理科数学试题正式答案

、选择题

1.B2.C3.A4.C5.B6.D

7.D8.B9.A10.A11.C12.A

二、填空题

116.②③

13.-114.-815.

(-,+)

4

三、解答题

17.解：J―

(1)由已知得tanA=-3,所以A=2

3

在AABC中，由余弦定理得

222

28=4+c-4ccos,BPc+2c-24=0

3

解得（舍去），=4—

c=-6c

(2)有题设可得

=，所以□='

CADBADBACCAD

26

1r

故AABD面积与AACD面积的比值为ABADsin

261

1

ACAD

2

1—

又AABC的面积为

42sinBAC23,所以ABD的面积为3.

2

18.解:

(1)由题意知，X所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知

尸(X=200)=2；；6=02

尸(X=300)=90=0.4

25+7+4

()

PX5000.4

-90—

X的分布歹1为

X200300500

P0.20.40.4

⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200W〃W500

当300W"4500时,

若最高气温不低于25,则丫=6n-4n=2n

若最高气温位于区间20,,25),则丫=6x300+2(n-300)-4n=1200-2n;

若最高气温低于20,则Y=6x200+2(n-200)-4n=800-2n;

因止匕EY=2nxO.4+(1200-2n)x0.4+(800-2n)x0.2=640-0.4n

当200w〃30。时，

若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20,则Y=6x200+2(n-200)-4n=800-2n;

因此EY=2nx(0.4+0.4)+(800-2n)x0,2=160+1.2n

所以n=300时，丫的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19.解：

(1)由题设可得，ABDCBD,从而AD=DC

又力。是直角三角形，所以力390。

取AC的中点O,连接DO,BO,贝UDO±AC,DO=AO

又由于是正三角形，故

所以Z7C归为二面角D-AC-8的平面角

在中，BOAOAB

2+2=2

又A88。所以

BO+Da=BO+Aa=AB^=BD^o

,故DOB=90

所以平面ACDv平面ABC

(2)

D

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

A(1,0,0),B(0,^0),C(1,0,0),D(0,0,1)

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的„,ffiE到平面ABC的距离为D到平面ABC

的距离的Y

2

,BTE为DB的中点；得E

AD=(-)AC=[-AE=

1,0,1,2,0,0,

22

J£-x+z=0

IIII

设〃=(是平面的法向量「则

x,y,z)DAE3

y+

n=1,,1

3

m同理可得6=(0,-1

设6是平面AEC的法向量，贝！|\'

m3)

则7

COSn,m=77/77=

nm

所以二面角D-AE-C的余弦值为7

20.解

(1)设),6(x,y),/:x=my+

11222

=+可得y-my-=,yy=-

Xmy2240贝u4

由

12

jX

2

)2

又y

yyy

22

12

,至=，故AIA2=

=4

12

224

yy-4

因此0A的斜率与OB的斜率之积为124

XX

12

所以OA，OB

□

故坐标原点。在圆M上.

(2)由(1)可得)

yym,xxmyym+

1+2=21+2=1+2+4=24

2

故圆心M的坐标为("7〃7),圆M的半径()

2

2+2,r=/772+2+Z772

由于圆M过点P(4,-2),因此/尸，故()()()()

x-x-+y+y+=

142412220

即

XXXX+yy+y+y+

--

2412222OO

由(1)可得yyxx

12=-4,12=4

--1

所以1或

2777-777-1=0,解得777=777=-

2

_----2

当m=1时，直线I的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1)圆的半径为10,圆M的方程为

(X-)+(7-)=

22

3110

185

“，副的

4

当，-，圆M的半径为

m=-时，直线I的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为

242

22

9185

方程为++

xy

4216

21.解：(1)r(x)的定义域为(o,+).

1a/n

①若a0,因-_+I2<0

为,所以不满足题意;

22

ax-a

②若a>0,由()=1-=知，当x(0,a)时，，'(x)<o；当x(a,+)时，〃(x)>0，所

fx

xx

以r(x)在(0,a)单调递减，在(a,+)单调递增，故x=a是r(x)在x(0士)的唯一最小值点.

由于〃1)=0,所以当且仅当於1时，f(x)0.

故a=1

(2)由(1)知当X(1，+)时，X-1-勿A>0

1In从而

令-rr

A=1+得

1+<

_2"_2n

2n

In-1—In—1In11111

1++1+++1+<+++=1-<1

22

2_22"222n2"

111

故

1+1+1+<e

2222n

111-

而

1+1+1+>2,所以/77的最小值为3.

222

23

22.解:

-1

(1)消去参数/得力的普通方程/4(x-)；消去参数)得△的普通方程()

/,y=X+1

2