1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时 用空间向量研究空间距离）教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时用空间向量研究空间距离）教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：数学

2.教学年级和班级：高二年级1班

3.授课时间：2023年9月10日上午第2节

4.教学时数：45分钟二、核心素养目标1.培养学生的空间想象能力，能够利用空间向量进行空间距离的计算和空间图形的分析。

2.提升学生的逻辑思维能力，通过向量运算解决空间距离和夹角问题。

3.培养学生的数学建模能力，能够将实际问题抽象为向量模型，并应用向量知识解决实际问题。

4.提升学生的数学运算能力，熟练掌握向量运算的规则和方法，能够准确计算空间向量的坐标和运算结果。三、重点难点及解决办法2.难点：空间向量运算的规则和方法，空间距离的计算公式。

解决办法：

1.通过直观的图示和实例，帮助学生理解和掌握空间向量的概念和基本运算规则。

2.采用分组讨论和合作学习的方式，让学生在实践中掌握空间距离的计算方法。

3.针对空间向量运算的规则和方法，设计一些具体的练习题目，让学生在练习中逐步理解和掌握。

4.对于空间距离的计算公式，可以通过一些具体的例子，让学生在计算中逐步理解和掌握。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料。本节课所使用的教材为人教A版（2019）选择性必修第一册，第4章第2节“用空间向量研究距离、夹角问题”。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。具体包括：

a.空间向量的概念和基本运算规则的PPT课件，包括图示和实例。

b.空间距离的计算公式和例题，以及相关的动画和视频，帮助学生直观地理解空间向量的运算和空间距离的计算方法。

c.分组讨论的题目和案例，以促进学生之间的交流和合作。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。本节课不涉及实验，因此不需要准备实验器材。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。具体包括：

a.将教室分为若干小组讨论区，每组配备一张桌子，供学生进行分组讨论和合作学习。

b.在教室的投影仪上展示PPT课件，以便学生能够直观地理解教学内容。

c.在教室的黑板上列出本节课的重点和难点，以及相关的公式和例题，方便学生随时查阅和复习。五、教学流程1.课前准备（5分钟）

在课前，教师需要准备教材、辅助材料和教室环境。确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，如人教A版（2019）选择性必修第一册。准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如空间向量的概念和基本运算规则的PPT课件，空间距离的计算公式和例题，以及相关的动画和视频。根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。

2.导入新课（5分钟）

教师可以通过一个具体的实例或者问题，激发学生的兴趣和好奇心，引导学生进入本节课的学习。例如，教师可以提出一个问题：“如果我们要计算两个空间点之间的距离，你会如何计算？”然后引导学生思考和讨论，从而引出本节课的主题：用空间向量研究距离、夹角问题。

3.概念讲解（10分钟）

教师需要讲解空间向量的概念和基本运算规则。通过PPT课件，展示图示和实例，帮助学生理解和掌握空间向量的概念和基本运算规则。例如，通过一个具体的实例，展示如何利用空间向量计算两点之间的距离。

4.例题解析（10分钟）

教师需要通过一些具体的例题，帮助学生理解和掌握空间向量的运算和空间距离的计算方法。例如，教师可以给出一个具体的题目：“已知两个空间点A和B的坐标分别为A(1,2,3)和B(-1,-2,-3)，求点A到点B的距离。”然后引导学生思考和讨论，展示解题步骤和答案。

5.分组讨论（5分钟）

教师可以组织学生进行分组讨论，让学生在实践中掌握空间距离的计算方法。例如，教师可以给出一些具体的题目，让学生在小组内进行讨论和解答。通过这种方式，学生可以相互学习和交流，加深对空间向量运算和空间距离计算的理解。

6.总结与作业布置（5分钟）

在课堂的最后，教师需要对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，帮助学生巩固所学知识。例如，教师可以总结本节课的主要内容：空间向量的概念和基本运算规则，空间距离的计算方法。然后布置适量的作业，让学生在课后进行练习和巩固。

本节课的教学流程共计45分钟，教师需要合理安排每个环节的时间，确保教学效果。通过以上教学流程的设计，教师可以有效地帮助学生理解和掌握空间向量运算和空间距离的计算方法，提升学生的空间想象能力和逻辑思维能力。六、知识点梳理1.空间向量的概念和基本运算规则

-空间向量的概念：空间向量是具有大小和方向的量，可以表示为坐标系中的点。

-空间向量的基本运算规则：向量的加法、减法、数乘、数量积（点乘）、向量积（叉乘）等。

2.空间距离的计算方法

-两点之间的距离：利用空间向量坐标运算，计算两点之间的距离。

-点到平面的距离：利用空间向量和点到平面距离的公式计算。

-两平行线之间的距离：利用空间向量和两平行线之间距离的公式计算。

3.空间夹角的计算方法

-两向量之间的夹角：利用向量数量积（点乘）公式计算。

-向量与平面的夹角：利用向量和点到平面距离的公式计算。

4.空间向量的坐标表示

-空间向量的坐标表示方法：利用空间直角坐标系，将空间向量表示为坐标系中的点。

5.空间向量的运算性质

-向量加法的性质：交换律、结合律、分配律等。

-向量数乘的性质：分配律、结合律等。

-向量数量积（点乘）的性质：交换律、分配律、结合律等。

-向量向量积（叉乘）的性质：交换律、结合律等。

6.空间向量在实际问题中的应用

-利用空间向量解决距离问题：计算两点之间、点到平面、两平行线之间的距离。

-利用空间向量解决夹角问题：计算两向量之间、向量与平面的夹角。

-利用空间向量解决实际问题：如物体在空间中的运动轨迹、物体之间的相互作用力等。七、典型例题讲解1.例1：已知两点A(1,2,3)和B(-1,-2,-3)，求点A到点B的距离。

答案：

利用空间向量坐标运算，计算两点之间的距离。

设点A到点B的距离为d，则有

d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]

代入A和B的坐标，得

d=√[(-1-1)^2+(-2-2)^2+(-3-3)^2]

d=√[2^2+0^2+6^2]

d=√[4+0+36]

d=√40

d=2√10

2.例2：已知两点A(1,2,3)和B(-1,-2,-3)，求向量AB的坐标。

答案：

向量AB的坐标为B-A，即

AB=(-1-1,-2-2,-3-3)

AB=(-2,-4,-6)

3.例3：已知两点A(1,2,3)和B(-1,-2,-3)，求向量AB的长度。

答案：

向量AB的长度即为点A到点B的距离，根据例1的解答，可知向量AB的长度为2√10。

4.例4：已知向量a=(1,2,3)和向量b=(-1,-2,-3)，求向量a和向量b的数量积（点乘）。

答案：

向量a和向量b的数量积（点乘）为

a·b=1*(-1)+2*(-2)+3*(-3)

a·b=-1-4-9

a·b=-14

5.例5：已知向量a=(1,2,3)和向量b=(-1,-2,-3)，求向量a和向量b的向量积（叉乘）。

答案：

向量a和向量b的向量积（叉乘）为

a×b=(2*(-3)-3*(-1),3*(-3)-1*(-2),1*(-3)-2*(-1))

a×b=(-6+3,-9+2,-3+2)

a×b=(-3,-7,-1)八、课堂教师可以通过提问、观察、测试等方式，了解学生的学习情况，及时发现问题并进行解决。例如，教师可以在课堂上提问学生关于空间向量运算和空间距离计算的问题，观察学生的反应和回答，以此来判断学生对知识的掌握程度。此外，教师还可以通过课堂测试，让学生在规定时间内完成相关的题目，以此来检验学生的学习效果。

2.作业评价

对学生的作业进行认真批改和点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。例如，教师可以对学生的作业进行详细的批改，指出学生的错误和不足之处，并提供正确的解题方法和步骤。同时，教师还可以对学生的作业进行点评，表扬学生的优点和进步，激发学生的学习兴趣和动力。此外，教师还可以鼓励学生进行自我反思和总结，帮助学生巩固所学知识，提高学习效果。

3.学生互评

组织学生进行互评，让学生之间互相批改作业，相互学习交流。例如，教师可以让学生分成小组，让学生在小组内互相批改作业，共同讨论和解决作业中的问题。通过这种方式，学生可以相互学习，取长补短，提高自己的学习效果。同时，学生互评也可以培养学生的团队合作能力和批判性思维能力。

4.家长评价

与家长进行沟通和交流，了解学生在家庭中的学习情况，共同关注学生的学习进步。例如，教师可以通过家长会、家访等方式，与家长进行沟通，了解学生在家庭中的学习情况，共同关注学生的学习进步。同时，教师还可以向家长反馈学生在课堂上的表现和作业完成情况，鼓励家长积极参与学生的学习过程，共同促进学生的全面发展。教学反思在教学过程中，我还发现学生在进行空间向量运算时，容易混淆向量的加法、减法、数乘和数量积（点乘）等运算规则。为了帮助学生克服这个难点，我设计了一些练习题目，让学生在练习中逐步掌握向量运算的规则和方法。同时，我还鼓励学生在小组内进行讨论和交流，相互学习，共同进步。

在教学评价方面，我通过提问、观察和测试等方式，及时了解学生的学习情况，发现了一些学生在计算空间距离时容易犯的错误。针对这些问题，我及时进行了讲解和指导，帮助学生纠正错误，提高计算的准确率。

通过这节课的教学，我深刻认识到，作为一名教师，我们需要不断反思和总结自己的教学方法，以提高教学效果。同时，我们还需要关注学生的学习情况，及时发现和解决他们在学习过程中遇到的问题，帮助他们取得更好的学习成果。板书设计1.板书标题：空间向量与空间距离、夹角问题

2.板书内容：

-空间向量的概念和基本运算规则

-空间距离的计算方法：两点之间的距离、点到平面的距离、两平行线之间的距离

-空间夹角的计算方法：两向量之间的夹角、向量与平面的夹角

-空间向量的坐标表示

-空间向量的运算性质

-空间向量在实际问题中的应用

3.板书结构：

-标题：位于板书的最上方，简洁明了地表达本