湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期入学素质考试数学试题（含答案解析）

炎陵县2024年上期高二年级入学素质检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知函数在处可导,若,则（）A.2 B.1 C. D.0【答案】C【解析】【分析】根据条件得到，计算得到答案.【详解】即故选【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.2.两直线与平行，则它们之间的距离为（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两直线平行首先求出参数，再由两平行直线之间距离公式即可得解.【详解】因为两直线平行，所以，解得，将化为，由两条平行线间的距离公式得.故选：D．3.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，结合空间向量的基本定理运算求解.【详解】由题意点M在OA上，，所以，因为点N为BC中点，所以，由题，，，则，故选：C4.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可.【详解】易知时，，但时有，此时方程表示圆，所以不满足充分性，若方程表示的曲线为椭圆，则，显然成立，满足必要性，故“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B5.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据导函数的图象可得的单调性，即可结合选项求解.【详解】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，结合选项可知，只有C中函数符合要求，故选：C6.数列中，，对任意，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.【详解】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.8.设，若为函数的极大值点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由等比数列的性质求出，再判断曲线类型，进而求出离心率【详解】由三个数成等比数列，得，即；当，圆锥曲线为，曲线为椭圆，则；当时，曲线为，曲线为双曲线，，则离心率为：或故选BC【点睛】本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解的取值，属于中档题10.下列命题中，正确的命题有（）A.是，共线的充要条件B.若，则存在唯一的实数，使得C.对空间中任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面D.若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底【答案】CD【解析】【分析】对A，向量、同向时不成立；对B，为零向量时不成立；对C，根据空间向量共面的条件判定；对D，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A，向量、同向时，，只满足充分性，不满足必要性，A错误；对B，应该为非零向量，故B错误；对C，由于得，，若共线，则三向量共线，故，，三点共线，与已知矛盾，故不共线，由向量共面的充要条件知共面，而过同一点，所以，，，四点共面，故C正确；对D，若为空间一个基底，则，，不共面，假设，，共面，设，所以，无解，故，，不共面，则构成空间的另一个基底，故D正确．故选：CD．11.下列命题中，不正确的选项有（）A.若成等比数列，则为的等比中项，且B.为等比数列是的充要条件C.两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列D.若是等比数列，是的前n项和，则，…成等比数列【答案】ABD【解析】【分析】选项A，等比数列中的项可以为负数，举出反例即可；选项B，判断必要性时，举出反例，通项为零的常数列，判断即可；选项C，分别设等比数列的公比为，的公比为，接着分析它们积、商、倒数数列的首项和公比即可；选项D，举出反例，等比数列为……，判断，…是不是等比数列即可.【详解】对于选项A，若，成等比数列，为的等比中项，但，A错误；对于选项B，充分性：若为等比数列，可得，得，满足充分性；必要性：若数列是各项为零的常数数列，满足，不满足为等比数列，不满足必要性；B错误；对于选项C，两个等比数列（公比为）与（公比为），它们的积数列是以为首项，为公比的等比数列，它们的商数列是以为首项为公比的等比数列，倒数数列是以为首项为公比的等比数列，C正确；对于选项D，若等比数列为……，显然，……，…不成等比数列，D错误；故选：ABD.12.下列说法正确的是（）A.直线

的倾斜角的取值范围为B.“”是“点到直线距离为”的充要条件C.直线：恒过定点D.直线与直线平行，且与圆相切【答案】ACD【解析】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A；利用点到直线的距离与充分不必要条件判断B；由直线平行的判定与直线与圆相切的条件判断C；由直线的斜率判断D【详解】对于A：设直线的倾斜角为，则，所以的取值范围是，故A正确；对于B：由点到直线距离为，可得，解得或，所以“”是“点到直线的距离为3”的充分不必要条件，故B错误；对于C：，即，恒过定点，故C正确；对于D：直线即与直线平行，圆圆心为，半径为，又圆心到直线的距离为，所以与圆相切，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知.则__________．【答案】【解析】【分析】由题意可知，解得，进而求出，由此求的值．【详解】因为，且，所以，解得，则，故，所以.故答案为：．【点睛】本题主要考查空间向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系，向量模的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.设是等差数列，且，，则的通项公式为__________．【答案】【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列公差为，【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.15.直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出．【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，弦心距，所以．故答案为：.［方法二］：距离公式的应用由解得：或，不妨设，所以．故答案为：.［方法三］：参数方程的应用直线的参数方程为，将其代入，可得，化简得，从而，所以．故答案为：.【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦；方法三：直线参数方程中弦长公式的应用．16.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是___________．【答案】【解析】【分析】由已知结合三角形内角平分线定理可得|PF1|＝2|PF2|，再由椭圆定义可得|PF2|，得到a﹣c，从而得到e，再与椭圆离心率的范围取交集得答案．【详解】∵，∴，，∵是的角平分线，∴，则，由，得，由，可得，由，∴椭圆离心率的范围是．故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了角平分线定理的应用及椭圆定义的应用，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.双曲线的方程是．求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程．【答案】【解析】【分析】利用点差法可得直线的斜率，即可根据点斜式求解．【详解】设直线与双曲线交于,、,两点，点为的中点，则，．由，，两式相减得，即，的方程为，即．把此方程代入双曲线方程，整理得，满足，即所求直线的方程为．18.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接，，分别为，中点为的中位线且又为中点，且且四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）设，由直四棱柱性质可知：平面四边形为菱形则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：，，，D（0，-1,0）取中点，连接，则四边形为菱形且为等边三角形又平面，平面平面，即平面为平面的一个法向量，且设平面的法向量，又，，令，则，二面角的正弦值为：【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.19.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.【答案】（1）x－y＋4＝0；（2）x2＋y2－x＋7y－32＝0.【解析】【分析】（1）将两圆方程相减即可得两圆公共弦所在直线的方程；（2）先联立两圆方程求出两圆交点坐标，然后根据圆上任意点到圆心的距离相等建立方程即可求解.【详解】解：（1）设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，两式相减得x－y＋4＝0，A，B两点坐标都满足此方程，x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；(2)解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)，设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，则＝，解得a＝，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.20.设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2=15，S5=65.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，Tn=Sn-10，求数列{|bn|}的前n项和Rn.【答案】（1）an=-2n+19；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可得出结果；（2）先利用等差数列前项和公式求出，进而求出，再利用求解，当1≤n≤9时，bn>0，，当n≥10时，bn<0，求解即可.【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，则由已知得，故an=-2n+19.（2）由（1）得=-n2+18n，∴Tn=-n2+18n-10，∴Tn-1=-(n-1)2+18×(n-1)-10=-n2+20n-29，∴bn=Tn-Tn-1=-2n+19(n≥2)，当n=1时不符合上式，∴；易知，当1≤n≤9时，bn>0，当n≥10时，bn<0.所以当1≤n≤9时，Rn=|b1|+|b2|+…+|bn|=b1+b2+…+bn=-n2+18n-10；当n≥10时，Rn=|b1|+|b2|+…+|bn|=b1+b2+…+b9-(b10+b11+…+bn)=-Tn+2T9=n2-18n+152，故.【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算以及利用求，考查了等差数列前项和公式以及带绝对值的数列求和问题.属于中档题.21.设函数.（1）求导函数；（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用求导公式求解即可；（2）首先将代入切线方程得到切点为，从而得到，再解方程组即可.【详解】（1）由，得.（2）由题意得，切点既在曲线上，又在切线上，将代入切线方程，得，切点为.所以，解得.22.已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【答案】(1)见详解；(2)3或.【解析】【分析】（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，分别为点到直线的距离，则，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设,,则．又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直