现代控制理论_于长官

1、.,第二章：状态方程和输出方程 2. 1 系统状态空间描述的概念,例: RLC网络 系统的状态空间模型: 线性连续定常系统的状态空间模型为 其中 为输入向量; 为输出向量; 为状态向量. 为恰当维数的实矩阵.,.,分别称为状态矩阵,输入矩阵和输出矩阵. 系统状态空间描述的特点: 系统的状态变量的个数=系统中包含的独立储能元件的个数=等于系统的阶数(该阶数与经典控制论中概念一致) 对于给定的系统,状态变量的选择不是唯一的,但各种选择的状态变量的个数都是相同的.,.,3) 一般来说,状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量,也可能是纯数学的量,没物理上的意义. 建立系统状态空间模型的步骤; 1)

2、选择合适的状态变量. 2) 根据系统物理机理或其他方面的机理列写微分方程, 化成一阶微分方程组. 3) 写成矩阵形式, 得到状态空间模型.,.,2.2 系统的一般时域模型化为状态空间模型,同一系统的各种模型间可以互相转化 讨论系统的常微分方程模型化为系统的状态空间模型分以下两种情况: 1) 常微分方程模型中不含输入函数的导数. 2)常微分方程模型中含输入函数的导数.,.,选择状态变量: 其中参数 由下式决定,.,即:,.,2.3 系统的频域描述化为状态空间描述,控制系统的传递函数为 按其极点情况,用部分分式法可得与之相应的状态空间模型. 一,控制系统传递函数的极点两两相异时.,.,其中 是系统

3、两两相异的极点. 按下式 计算 二,控制系统传递函数的极点为重根. 1)传递函数的极点为一个重根. 其中 是系统的 重极点. 按下式计算,.,2)传递函数的极点为 个重根. 此时系统的状态空间模型由 个1)中的系统并联而成. 三,传递函数的极点既有单极点,又有重极点. 此时系统的状态空间模型由所有的单极点系统和所有的重极点系统并联而成.系统的状态矩阵为约当标准型.,.,2.4 据状态变量图列写状态空间描述,一, 状态变量图的概念 所谓状态变量图,是由积分器,放大器和加法器构 成的控制系统图形表示.状态变量图是系统相应方块 图拉氏反变换的图形. 在选择系统的状态变量时,一种方法是选择系统 中的独

4、立储能元件的储能变量作为状态变量,体现在,.,状态变量图中,就是选择积分器的输出作为状态变量, 进而导出系统的状态空间模型. 列写状态空间描述的步骤: 1, 对传递函数进行处理. 2, 画系统对应的方块图. 3, 画系统的状态变量图. 4, 依据状态变量图,列写出系统状态方程与输出方程.,.,二, 一阶系统的状态空间描述 三, 阶系统的状态空间描述 设 阶系统的传递函数为,.,令 或 可得 根据上式, 可得系统的方块图,继而得系统的变量图.,.,2.5 据系统方块图导出状态空间描述,一, 方块图方法的思路 当系统的描述以方块图形式给出时,常常无须求出系统的总传递函数和状态变量图,可以直接由方块

5、图导出其相应的状态空间模型. 这主要是基于以下的事实: 事实: 系统中二阶以上的环节常常可以化为由惯性环节和积分环节组成.,.,因此,我们可以以这些惯性环节和积分环节的输出作为状态变量的拉氏变换来导出状态空间模型. 基于方块图导出状态空间模型要比基于状态变量图导出状态空间模型简单. 二,方块图导出状态空间模型的步骤 1)将系统方块图中的每一环节都分解为积分环节和惯性环节的组合.,.,2)以所有惯性环节和积分环节的输出作为状态变量的拉氏变换. 3)列出所有惯性环节和积分环节输入输出的拉氏变换关系式. 4)对所有3)中的拉氏变换关系式求拉氏反变换得到一阶微分方程组. 5)把4)中的一阶微分方程组化

6、成向量矩阵表示的状态方程与积分方程.,.,2.6 据系统状态空间描述导出频域描述,设线性连续定常系统的状态空间模型为 (1a) (1b) 对以上两式分别做拉氏变换,得 从以上两式中消去 , 则 (2),.,结论:从(2)式可知:系统的极点和系统状态空间模型 中状态矩阵的特征值是一致的. 问题:对同一个系统,选择不同的状态变量,所得的状 态空间模型之间有什么关系? 对同一个系统,不同的状态变量之间存在着线性 变换关系,这相当于在(1)中做状态变量的可逆线性 变换 或 .则,.,所以,我们有 结论:对同一个系统,可以选择不同的状态变量,但所 得到的状态空间模型的状态矩阵是相似的.,.,第三章：系统

7、的运动与离散化 3.1 矩阵指数概念,系统的运动: 系统动态方程的解. 一, 线性系统的自由运动 先考察一般线性时变系统的自由运动 该自由运动的解可表示为 称为系统的状态转移矩阵.,.,线性时变系统的状态转移矩阵, 恰为以下矩阵微分 方程的解 注: 状态转移矩阵 也常被记作 . 状态转移矩阵 的性质: 1) 唯一性: 线性时变系统 的状态转移矩阵是唯一的.,.,2) 可逆性: 3) 可分解性: 4) 传递性: 对于线性定常系统, 其状态转移矩阵为 线性定常系统的自由运动因此为,.,二, 矩阵指数 的定义 一般的指数函数 有如下的定义 据此定义矩阵指数函数如下: 可以证明: 线性定常系统的状态转

8、移矩阵为 .,.,3.2 矩阵指数函数 的计算方法,一, 根据矩阵指数函数的定义求解. 二, 用拉氏反变换求解. 三, 将 化为 的有限多项式来求解. 利用Cayley-Hamilton定理, 将 的无限多项式 化为有限多项式来计算. 即:,.,式中, 为 的函数. 根据 的不同 特征值情况, 由不同的公式给出.,.,(补充材料) Cayley-Hamilton定理: 设 的特征多项式为 则有 Cayley-Hamilton定理说明矩阵 的 次或超 过 次以上的幂都可以化为 的 次多项式来进 行计算.,.,Cayley-Hamilton定理应用举例: 已知 , 试计算 (1) (2) (3)

9、注: 的特征多项式为,.,3.3 线性系统的受控运动,动态系统在控制作用下的运动,称为受控运动. 若受控线性状态方程 的解存在,则必具有如下形式 上式说明:线性系统的运动由两部分构成,第一部分,.,为起始状态的转移项,第二部分为控制作用下的受控 项. 上述解公式在线性定常系统时可以给予证明.,.,3.4 线性离散系统的状态空间描述,线性时变离散系统的状态空间模型如下: 线性定常离散系统的状态空间模型如下: 其中各向量各矩阵的含义类似于连续系统的情形.,.,在经典控制理论中, 线性定常离散系统的模型用 下列的高阶差分方程描述 或下列的脉冲传递函数描述 一, 将差分方程模型化为状态空间模型 1)

10、差分方程的输入函数中不包含差分的情形,.,2) 差分方程的输入函数中包含差分的情形 二, 将脉冲传递函数模型化为状态空间模型 1) 脉冲传递函数的极点两两相异时,.,其中 则: 令: 则可得相应的状态空间模型.,.,2) 脉冲传递函数的极点为单个重极点 其中, 令,., 则可得相应的状态空间模型. 3)传递函数的极点既有单极点,又有重极点. 此时,系统的状态空间模型为约当标准型.,.,3.5 线性定常离散系统的受控运动,一, 迭代法 利用计算机迭代求解, 且可得如下的解公式 从该式可知, 在线性定常离散系统中,设其状态转移 阵为 , 则 ,.,是满足下列方程的唯一解, 二, Z变换法:,.,3

11、.6 线性连续系统的离散化,一, 时变系统状态方程的离散化 定理: 设线性连续时变系统 离散化后的状态空间模型为 则两者系数矩阵关系为,.,式中, 为连续系统的状态转移矩阵. 以上为线性连续时变系统与其离散化后的系统 系数矩阵间的精确关系, 当采样周期很小时, 有下面 的近似关系.,.,二, 定常系统状态方程的离散化 定理: 设线性连续定常系统 离散化后的状态空间模型为 则两者系数矩阵关系为 ,.,第四章：系统的能控性与能观测性 4.1 能控性与能观测性的概念,能控性: 对于线性系统 在 时刻 的任意初值 , 总存在一个有限时刻 和 上的容许控制 , 使得 , 则称系统是 状态完全能控的. 能

12、控性是检查系统的每一个状态分量能否被 所控制.,.,能观性: 对于线性系统 设输入 , 对于系统在 时刻的任意初始状态 , 都存在一个有限时刻 , 使得通过在 区间 上的输出 能唯一地确定系统的初始状 态 , 则称系统是状态完全能观测的. 能观性说明能否通过系统的输出来确定系统的状态.,.,4.2 线性定常系统的能控性判据,一, 状态能控性判据的第一种形式 定理: 阶线性定常系统 , 状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵 满秩, 即:,.,二, 状态能控性判据的第二种形式 定理: 设系统 具有两两相异的特征值 , 则系统状态完全能控的充要条件是:系 统经非奇异变换 ( ) 后的对角线规范型 中

13、, 不包含元素全为 0 的行.,.,定理: 设系统 具有不同的重特征值 其重数分别为 , ( ),则系统状态 完全能控的充要条件是:系统经非奇异变换 ( ) 后的约当规范型,.,中, 里与每个约当小块 的最后一 行对应的所有行元素不全为0. 三, 状态能控性判据的第三种形式 定理: 线性定常单输入单输出系统 状态完 全能控的充要条件是: 其输入-状态的传递函数 中无相消因子, 即无零极点相消现象.,.,4.3 线性定常系统的能观性判据,一, 状态能观性判据的第一种形式 定理: 阶线性定常系统 , 即 状态完全能观测的充要条件是其能观性矩阵 满 秩, 即:,.,这里,.,二, 状态能观性判据的第

14、二种形式 定理: 设系统 具有两两相异的特征值 , 则系统状态完全能观的充要条件是:系 统经非奇异变换 ( ) 后的对角线规范型 中, 不包含元素全为 0 的列.,.,定理: 设系统 具有不同的重特征值 其重数分别为 , ( ), 则系统状态 完全能观的充要条件是:系统经非奇异变换 ( ) 后的约当规范型,.,中, 里与每个约当小块 的首行对 应的所有列元素不全为0. 三, 状态能观性判据的第三种形式 定理: 线性定常单输入单输出系统 状态完 全能观的充要条件是: 其状态-输出的传递函数 中无相消因子, 即无零极点相消现象.,.,定理: 线性定常单输入单输出系统 状态完 全能控能观的充要条件是

15、: 其输入-输出的传递函数 中无相消因子, 即无零极点相消现象.,.,4.4 线性离散定常系统的 能控性与能观性判据,一, 线性离散定常系统的能控性判据 线性离散定常系统的能控性能观性定义和线性 连续定常系统的能控性能观性的定义类似. 定理: 阶线性离散定常系统 的状态完全能 控的充要条件为其能控性矩阵满足 .,.,其中, 二, 线性离散定常系统的能观性判据 定理: 阶线性离散定常系统 的状态完全能 观的充要条件为其能观性矩阵满足 这里,.,注: 原来状态完全能控(能观)的线性定常连续系统离 散化后, 若采样周期选择不当,离散化后的定常系统 有可能变得不能控(能观)的.,.,4.5 能控规范型

16、和能观规范型,能控规范型或能观规范型实际上是状态完全能 控或状态完全能观的线性系统在特殊的状态变量选 择下所得到的特殊的具有简单形式的状态空间模型. 考察如下的SISO线性系统: (1),.,其中, 一, SISO系统的能控规范型: 定理: 设SISO线性系统(1)状态完全能控, 则一定存 在非奇异变换 或 , 将线性系统(1)化 为如下的能控规范型.,.,其中, 而 为任意 的矩阵. 其中的变换阵 可由下式 表达:,.,这里 的含义实际上是取 的最后一行.,.,二, SISO系统的能观规范型: 定理: 设SISO线性系统(1)状态完全能观, 则一定存 在非奇异变换 或 , 将线性系统(1)化

17、 为如下的能观规范型. 其中,.,而 为任意 的矩阵. 其中的变换阵 可由下式 表达:,.,这里 的含义实际上是取 的最后一列.,.,4.6 系统能控性和能观性的对偶原理,考察以下的两个系统: 1: 2: 注意如下的符号表达: 1: 2: 关系: 系统1的能控阵=系统2的能观阵, 系统1的能观阵=系统2的能控阵.,.,所以,系统1状态能控等价于系统2状态能观, 系统1状态能观等价于系统2状态能控. 系统1和系统2的以上这些关系称为系统能 控性和能观性的对偶特性.,.,第五章：状态反馈与状态观测器 5.1 状态反馈与输出反馈,状态反馈和输出反馈是反馈控制系统反馈的两种 基本形式: 1,状态反馈

18、设受控系统模型为 对其施加状态反馈律,.,则闭环系统的状态空间模型为 闭环传递函数为 2,状态反馈 对前面的受控系统施加输出反馈律 则闭环系统的状态空间模型为,.,闭环传递函数为 3,对两种反馈形式的讨论 a) 两种反馈引入后, 所得闭环系统和原开环系统具有相同的阶数.,.,b) 两种反馈闭环系统均能保持原系统的能控性; 状态反馈后的闭环系统不一定保持原系统的能观性;输出反馈后的闭环系统一定保持原系统的能观性. c) 状态反馈的实现需要系统状态的信息, 当系统的状态不能直接得到时, 需要构造观测器(估计器)来对其进行估计. d) 状态反馈与输出反馈相比,具有更好的特性.,.,5.2 SISO状

19、态反馈系统的极点配置法,采用上节的状态反馈律, 所得闭环系统为 所谓极点配置法, 就是通过状态反馈阵 的选取, 使以上闭环系统的极点, 即 的特征值恰好处于 所希望的一组极点的位置上.,.,一, 极点配置定理 定理: 对SISO系统0 , 给定任意 个极点 (实数或共轭虚数). 以这 个极点为零 根的特征多项式为 那么存在矩阵 , 使闭环系统K 以 为极点, 即,.,的充要条件为受控系统0 是完全能控的. 该定理即: SISO系统可通过状态反馈任意配置极点 的充要条件为该受控系统是状态完全能控的. 注1: 该定理的证明是构造性的, 即证明的过程也给 出了利用状态反馈进行极点配置的方法. 注2:

20、 对状态完全能控的SISO系统, 引入状态反馈可,.,以任意配置极点, 但不改变原系统的零点. 注3: 对于 维SISO受控系统, 利用状态反馈配置极 点时, 可以调节的参数有 个, 但利用基本型的输出 反馈配置极点时, 可供调节的参数只有一个. 注4: 完全能控能观的SISO系统, 引入状态反馈后还 能保持状态完全能观测的充要条件. 注5: 关于带有输入变换的状态反馈系统.,.,二, 极点配置的方法选择 1, 当 时, 采用能控规范型方法. 即先将原系统化为能控规范型, 然后在此基础上 配置极点. 2, 当 时, 采用特征值不变性原理方法. 此时,不通过能控规范型求状态反馈阵 , 而直 接利

21、用下面的方程求反馈阵 , 即,.,解关于 的方程,.,5.3 状态重构问题,一, 状态观测器的基本思想 1, 状态重构的可能性 所谓状态重构(估计)问题, 即能否用系统的可量 测参量(输出和输入)来重新构造一个状态 , 使之在 一定的指标下和系统的真实状态 等价. 首先, 当线性定常系统的状态完全能观测时,利用 其输出和输入重构出其真实状态 是可能的.,.,2, 状态重构的等价性指标 实现状态重构的一个直观想法就是人为地构造 另一个动态系统, 以原系统的输入和输出作为它的输 入量, 而它的状态就作为原系统状态的重构状态, 使 之在渐进的的意义上等价. 即,.,3, 状态观测器的定义 定义: 设

22、线性定常系统0 的状态 是不能直 接量测的, 如果另一个动态系统 以0 的输入和输 出作为它的输入量, 的输出 满足如下的等价性 指标 则称动态系统为0的状态观测器.,.,4, 状态观测器的结构模型 设原系统的状态空间模型为 则所构造的状态观测器的结构形式为 设计状态观测器, 实际上是设计上式中的,.,二, 状态观测器的存在性 定理1: 对于状态完全能观测的线性定常系统, 其观 测器总是存在的. 定理1只是状态观测器存在的充分条件, 而非必 要条件. 引理: 任一线性定常系统经过非奇异线性变换总能化 为如下的能观结构形式.,.,式中, 为能观测状态; 为不能观测状态; 为系统的能观测部分(子系

23、统). 定理2: 线性定常系统的状态观测器存在的充要条件 是: 其不能观测的部分是渐进稳定的.,.,5.4 状态观测器的极点配置,一, 状态观测器的极点配置定理 定理: 对 SISO 线性定常系统 0 , 其观测 器 可以任意配置极点, 即具有任意 逼近速度的充要条件为系统0 状态完全能 观测. 该定理是线性状态反馈系统K,.,极点配置定理的对偶形式, 证明类似. 该定理构造性 证明给出的状态观测器设计算法如下: 先将原系统0 通过状态变换 化为能观规范型. 设 为能观规范型特征多项式的系数; 是期望特征多项式的系数,得反馈阵,.,3) 则所求的观测器系数矩阵为 . 二, 状态观测器极点配置的

24、方法选择 1, 当 时, 采用能观规范型方法. 即先将原系统化为能观规范型, 然后在此基础上,.,配置极点. 2, 当 时, 采用特征值不变性原理方法. 此时,不通过能观规范型求状态反馈阵 , 而直 接利用下面的方程求反馈阵 , 即 式中, 为观测器系统希望极点组成的特征多项式.,.,5.5 带观测器状态反馈闭环系统,一, 闭环系统的等价性 设原 阶系统的状态方程和输出方程为 且该系统状态完全能控能观, 当其状态不能直接量测 时,需要构造以下形式的观测器,.,此时的状态反馈作用为 因此, 带有观测器的状态反馈闭环系统的阶数为 . 该闭环系统(复合系统)可表示为:,.,结论: 带状态观测器的状态

25、反馈闭环系统和不带状态 观测器的状态反馈闭环系统的传递函数相同,即等价. 二, 分离原理 带状态观测器的状态反馈闭环系统特征多项式,.,结论: 带状态观测器的状态反馈闭环系统中, 状态反 馈的确定和观测器的确定可相互独立进行. 要求理解带观测器的状态反馈闭环系统方框图.,.,5.6 降维状态观测器的设计,当状态观测器的维数与原系统的维数相同, 即要 把原系统的 个状态都估计出来, 这样的观测器称 为全维(阶)观测器. 当原 维系统的 个状态中有 个可直接量测 或通过输出的线性变换可得到, 则只需为剩下的 个状态设计 维的状态观测器, 这样的状态观测 器称为降阶观测器.,.,一, 分离出 个需要

26、估计的状态变量 设状态完全能观测系统 若 , 即有 个状态可量测或通过线性变 换得到. 则可构造非奇异矩阵,.,引入非奇异线性变换 或 则可得变换后的系统 其中 ,.,显然, 变换后的系统中, 可量测, 只需对 设计 观测器即可. 二, 降维观测器的结构 以上经线性变换后的状态方程可化为 令:,.,则可得以 为状态向量的 维子系统的状态空间 模型: 针对该子系统设计状态观测器即可. 三, 降维观测器的状态空间表达式 以上子系统的状态观测器形式为,.,即: 令: 则可推出: 令:,.,则前面的降维观测器可化为 该观测器称为 维龙伯格观测器. 四, 原系统的状态估计 变换后的系统的状态估值为,.,

27、则原系统的状态估值为,.,第六章：李亚普诺夫稳定性 理论与自适应控制,6.1 李亚普诺夫第二法概述 一, 物理基础及有关概念 1, 平衡状态: 系统处于静态时的位置或状态称为平 衡状态. 设动态系统方程为 则 的根 称为该系统的平衡状态.,.,对于孤立的平衡状态, 总可以通过坐标变换, 将其转移到坐标原点. 2, 稳定性的一般含义: 一个系统受到外部扰动的作用时, 偏离了自己的平衡状态,但当外部扰动去除后, 系统仍能回到原来的平衡状态的性能称为系统的稳定性. 系统的稳定性是针对系统的平衡状态而言的.,.,3, 李亚普诺夫第一法: 解系统的微分方程式, 然后根据解的性质来判断系统的稳定性. 4,

28、 李亚普诺夫第二法: 在不直接求解系统的微分方程式的前提下, 通过构造的Lyapnov函数 及其对时间的导数 的定号性, 就可给出系统在平衡状态稳定性的信息.李亚普诺夫第二法适合于所有系统的稳定性判定.,.,二, 二次型及其定号性: 1,二次型: 关于未知变量 的二次齐次多 项式 称为二次型. 任一二次型 都可表示为 , 其中 为实对称矩阵, 2,二次型正定的定义与判定: (略),.,6.2 李亚普诺夫稳定性判据,一, 李亚普诺夫稳定性定义 1, 空间两点间距离(范数)的定义. 设 和 是 空间的两点, 则称下式为该两点间的距离或范数. 2, 稳定与一致稳定. 3, 渐进稳定与一致渐进稳定.,

29、.,4, 不稳定. 二, 李亚普诺夫稳定性定理 定理1: 设系统的状态方程为 且满 足 如果在原点的某一邻域内,存在一 标量函数 它具有连续的一阶偏导数 并 且满足以下条件: 1) 是正定的, 2) 是负定的,.,则系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的. 如果随着 还有 则系统在原点处的平衡状 态是大范围渐进稳定的.,.,定理2: 设系统的状态方程为 且满 足 如果在原点的某一邻域内,存在一 标量函数 它具有连续的一阶偏导数 并且满足以下条件: 1) 是正定的, 2) 是半负定的, 3) 对任意 和任意 在 时不恒等于零.,.,则系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的. 如果随着 还有 则系统在原点

30、处的平衡状 态是大范围渐进稳定的. 其中 表示 时从 出发的解轨迹.,.,定理3: 设系统的状态方程为 且满 足 如果在原点的某一邻域内,存在一 标量函数 它具有连续的一阶偏导数 并 且满足以下条件: 1) 是正定的, 2) 是半负定的, 但在某一非零 解轨迹恒为零. 则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是 稳定的, 但非渐进稳定.,.,定理4: 设系统的状态方程为 且满 足 如果在原点的某一邻域内,存在一 标量函数 它具有连续的一阶偏导数 并 且满足以下条件: 1) 是正定的, 2) 也是正定的, 则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是 不稳定的.,.,6.3 线性定常系统的李亚普