太原理工《大学物理》李孟春-§3-5角动量定理角动量守恒定律

1、2-5 角动量定理 角动量守恒定律,自然界中常见物体绕某中心旋转的情况，如:地球绕太阳的公转，原子中电子的运动等。仅用动量描述物体的运动是不够的，需要引入描写物体旋转运动的物理量角动量.,学习本节注意：将角动量与动量，角动量定理与动量定理，角动量守恒定律与动量守恒定律间进行类比.,角动量定理和角动量守恒定律是物理学中的基本概念和规律。,小船推动大轮船掉头,一、质点的角动量,质点以角速度作半径为r的圆运动，动量,与动量相对应,定义为角动量,对 两边积分得角动量定理积分形式,二、质点的角动量定理,质点做圆周运动时，角量描述下的动力学方程,质点对某定点的角动量对时间的变化率等于质点所受合外力对该点的

2、力矩。,质点受力矩作用，质点的角动量将改变。,若力矩在t1-t2的时间段对质点作用,称为冲量矩,反映力矩在一段时间过程内的积累作用效果。,质点的角动量定理：在一段时间过程中，质点所受的冲量矩，等于质点角动量的增量。,质点角动量的增量,三、 质点的角动量守恒定律,由角动量定理， 如果 则,有 =恒矢量,如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。这一结论叫角动量守恒定律。,可能出现两种情况,质点角动量守恒的条件是,1）外力,质点不受外力作用,质点所受到的力总是指向某一点，这种力就是有心力，这个点就是力心。,2) 外力 但是,有心力对力心的力矩等于零。,如：

3、万有引力,例1 证明， 一个质点运动时，如果不受外力作用，则它对于一固定点的角动量矢量保持不变。,证明：质点不受外力作用，做匀速直线运动,质点在任意时刻对固定o点的角动量,角动量矢量的方向垂直于运动直线与o点构成的平面。,角动量的大小,不论质点运动到那个位置，角动量的大小和方向都保持不变。,= 恒矢量,O到运动直线的距离恒定,例2 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的 (A)动量是否守恒 (B)对地心的角动量是否守恒,动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律,不守恒,守恒,利用角动量守恒定律可得出开普勒第二定律,例3 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿过中心的线拉

4、住 。开始时绳半径为r1 ，小球速率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ，小球速率变为 v2 ，求v2 =？,解：小球的合外力矩为 0 ，故角动量守恒 。 有：,L = mvr = 恒量 即： m v1 r1 =m v2 r2,例4 一质点作匀速率圆周运动时 它的动量不变，对圆心的角动量也不变 (B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变 (C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变 (D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变,答案 (C),1. 刚体定轴转动的角动量,五、刚体的角动量与角动量守恒,刚体中任一质量元 对z轴的角动量,整个刚体对转轴的角动量,刚体对转轴的转动惯

5、量,刚体定轴转动的角动量,转动定理 仅适用于转动惯量恒定的刚体。,适用转动惯量变化的情况,2. 定轴转动刚体的角动量定理,对于一段时间过程有,称为定轴转动刚体的角动量定理的积分形式.,非刚体定轴转动的角动量定理,反映了力矩的时间累积，称为在t0到t 时间内作用在刚体上的冲量矩。,物体在t 时刻的角动量,物体在t0时刻的角动量,二、定轴转动刚体的角动量守恒定律,如合外力矩 M=0，,称为刚体定轴转动的角动量守恒定律。,3）内力矩不改变系统的角动量.,1）角动量守恒条件,2）若 不变， 不变；若 变， 也变， 但 不变.,讨论,5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,4）在冲击等问题中，内力矩

6、外力矩，角动量保持不变。,6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成，角动量守恒定律的形式为,系统内各物体的角动量必须是对同一固定轴而言的。,被中香炉,惯性导航仪（陀螺）,角动量守恒定律在技术中的应用,例1 一根质量为 M ，长为l 的均匀细棒，可绕通过棒中心的垂直轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时静止，今有质量为 m 的小球以速度v0垂直碰撞棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的，小球与棒碰撞后粘在一起，试求碰撞后系统转动的角速度,解：系统的合外力矩为零.角动量守恒,碰撞前角动量,方向沿z轴,碰撞后,球角动量,方向沿z轴,细棒角动量,碰撞前系统角动量=碰撞后系统角动量,代入上式,例2 一杂技演员甲由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员乙弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为M,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员甲落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员乙可弹起多高?,把甲乙和跷板作为一个系统, 角动量守恒,解 甲在碰撞前落在A点的速度,碰撞后的瞬间, 甲乙具有相同的速度u,u为乙起跳速度,解得,跷板的转动惯量,乙能到达的高度,例4 半径为r的轻滑轮，中心轴水平固定，其上穿过一根轻绳，质量相同的两个人A、B，相对绳子以不同的速率从同