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文档简介

1、,多元函数微分学,习题课(6),课件制作：易学军 胡合兴,1、隐函数的导数：,一、内容总结, 一个方程的情形,定理1 设函数 在点 的邻域 内有 连续偏导数，且 ，则方程 在点 的某邻域内唯一确定一个有 连续导数的（单值）函数 ，它满足 ，且：,定理2 设三元函数 在 的邻域 内有连续偏导数， ，则方 程 在 的某邻域内唯一确定一个有连续 偏导的（单值）函数 ，满足 ， 且：, 方程组的情形,定理3 设 ，若 （1） ， （2） ， （3）雅克比行列式在 的值不为0，即 则方程组（3）在 的某邻域内唯一确定两个二元函 数 ，满足 且, 设多元函数 ，则在 内，任一 阶混合偏导数的值与求导的次序

2、无关.,2、高阶偏导数：, 若 的两个混合偏导数 和 在 的某邻域 内存在且在 连续，则,3、多元函数的泰勒公式：, 设 ， ， ， 则 其中 称为拉 格朗日型余项.,4、方向导数与梯度：, 若 在点 处可微，则 在 沿任一方向 的方向导数存在,且： 其中 为单位向量，最后两式为数量积., 记grad 称为 在点 处的梯度.,二、作业讲析 略,三、典型例题讲解,例 1 设方程 y + x exy = 0 确定了函数 y = y(x)，,解 方程两边求微分，得,d(y + x exy) = d0，,即,dy + dx - dexy = 0，,dy + dx exy(xdy + ydx ) = 0

3、.,当 1 - xexy 0 时，解得,即,解 用全微分形式不变性，得,故,求得：,解,所以,例 3 求函数 的所有二阶偏导数.,因为,例 4 设 ，试求 .,解,解 因为,所以,例 5 设 ， 求 .,例 6 将函数 展成麦克劳林公式.,解 函数 在 存在任意阶连续偏导数， 且,和 是任意非负整数，则有：,故所求方向导数为：,例 7 求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数.,解 由梯度计算公式得：,例 8 求函数 在点 处 的梯度，并问在哪些点处梯度为零？,4、 .,四、练习题,1、设 ，求,2、,设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程,3、设 ，求,5、设 ，（ 具有二阶连续偏导数），求：,6、求函数 在点 沿与 轴方向夹 角为 的方向射线 的方向导数，并问在怎样的方向上此 方向导数有： （1）最大值 （2）最小值 （3）等于零？,7、求 在点 处沿点的向径 的 方向导数，问 具有什么关系时此方向导数

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