江苏省2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

1、高一数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.请把答案填写在答题卡相应位置.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知中集合，结合集合交集的定义可得答案【详解】解：集合，故选：.【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题2.函数（，且）恒过定点（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令的真数值为1，求得自变量的值即可求得答案【详解】解：令，得，函数的图象经过定点故选：【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，属于基础题3.已知幂函数图像

2、经过点，则该幂函数的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可【详解】解：设幂函数为，因为图象经过点，解得，函数的解析式，故选：【点睛】本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，属于基础题4.设,用二分法求方程在内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】根据二分法求根的方法判断即可.【详解】由可知方程的根落在内.故选：B【点睛】本题主要考查了二分法求根方法等,属于基础题型.5.已知是奇函数，当时，当时，等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A

3、【解析】【分析】由时，则，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式；【详解】当时，则又是R上的奇函数，所以当时故选项A正确【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题6.函数的增区间是，则的单调增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数是函数向左平移5个单位，利用函数在区间是增函，即可得到结论【详解】解：函数是函数向左平移5个单位函数在区间是增函数增区间为向左平移5个单位，即增区间为，故选：【点睛】本题考查图象的变换，及函数的单调性，属于基础题7.设，则有（ ）A. B.

4、 C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性，可以判断出a0，b1，根据指数函数的值域及单调性可判断出0c1，进而得到a、b、c的大小顺序【详解】y=x在定义域上单调递减函数，a51=0，y=在定义域上单调递增函数，b1，y=（）x在定义域上单调递减函数，0c（）0.3（）0=1，acb故选D【点睛】本题考查的知识点是利用函数的单调性比较数的大小，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键8.若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得

5、到结果【详解】loga1logaa，当a1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0a1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a，综上可知a的取值范围是或，故选C.【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是讨论底数与1的关系，属于基础题9.函数在区间和区间上分别有一个零点，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】利用排除法：当时，此时函数只有一个零点1，不合题意，排除D选项，当时，此时函数有两个零点，不合题意，排除AC选项，本题选择B选项.10.已知函数，且，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令

6、g（x），由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f（2）的值【详解】令g（x），则g（-x），g（x）+ g（-x）=可得其为奇函数，又y=为奇函数，则f（x）+8为奇函数，所以f（2）+8+f(2)+80，即10+8+ 则f（2）26，故选D【点睛】本题考查函数奇偶性的判定及应用，以及整体代换求函数值的方法，属于中档题11.已知满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可【详解】解：满足对任意，都有成立，所以分段函数是减函数，所以：，解得故选C【点睛】本题考

7、查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力12.设函数，若实数满足，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式作出函数图象，由，且，可得，根据指数函数的单调性即可求出的取值范围.【详解】解：可作函数图象如下所示：因为实数满足，且，由图可知即在定义域上单调递增，且即故选：【点睛】本题考查数形结合思想，函数单调性的应用，以及对数的运算，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13.已知函数满足，则_.【答案】【解析】【分析】由已知，将5写成形式，则实数为所求【详解】解

8、：由于，令，转化为对数式得出，即有故答案为：【点睛】本题考查函数的解析式表示法，函数值求解根据函数的解析式构造出是关键，属于基础题14.已知集合，若，则实数a的取值范围是，其中_.【答案】-1【解析】【分析】由题意解出集合，根据集合的包含关系求出参数的取值范围，即可得到的值.【详解】解：且即又的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围问题，属于基础题.15.定义域为的函数满足且，则_.【答案】1【解析】【分析】根据题意可得，从而求得 的值【详解】解：函数满足，且，故答案为：【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的值，属于基础题.16.函数是定义域为R的增函数，且的图

9、像经过点和，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】由题意等价于根据函数的单调性与特殊点的函数值,将函数不等式转化为自变量的不等式,即可求解.【详解】解: 的图像经过点和,又因为是定义域为的增函数,故答案为: 【点睛】本题考查函数单调性,属于基础题.三、解答题：请把答案填写在答题卡相应位置.17.计算：（1）；（2）.【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】根据实数指数幂的运算公式和对数的运算公式，即可求解的结果.【详解】由题意，（1）原式；（2）原式.【点睛】本题主要考查了指数幂的化简，运算求值和对数的运算求值问题，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式是解答此类问题的关键，着

10、重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.已知函数的定义域为M.（1）求M；（2）当时，求的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据偶次方根的被开方数大于等于零，对数函数的真数大于零，得到不等式组，解得；（2）令将函数转化为关于的二次函数，结合的取值范围求出函数的值域.【详解】解：（1），解得，即，即函数的定义域.（2）因，令，则，而上单调递减，上单调递增，所以，即，所以值域为.【点睛】本题考查函数的定义域值域的求解，利用换元法求函数的值域，属于基础题.19.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，如图所示.（1）求函数的

11、解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？【答案】（1），；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.【解析】【详解】试题分析：（1）由图可知，点在曲线上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得.同理在曲线上，将其代入曲线的方程可求得.（2）设投资甲商品万元，乙商品万元，则利润表达式为，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品万元，乙商品万元时，所获得的利润最大值为万元.试题解析：（1）由题知，在曲线上，则，解得，即.又在曲线上，且，则，则，所以.（2）设甲投资万元，则乙投资为万元，投资获得的利润为万元，则，令，则.当，即（万元）时，利

12、润最大为万元，此时（万元），答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.20.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求a的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并证明；（3）求不等式的解集.【答案】（1）（2）函数在区间上的单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据函数为在上的奇函数，则，得到关于的方程，求解可得，需注意检验；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照“设元，作差，变形，判断符号，下结论”五步来完成即可；（3）根据函数的单调性奇偶性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域，得到不等式组，解得；【详解】解：（1）因为函数是定义在上的

13、奇函数，所以，解得，此时，由，得定义域为，而，则函数是奇函数，所以满足题意.（2）函数在区间上的单调递增，下面证明：任取，且，则，而，因为，且，所以，,所以，所以，所以，所以，所以，所以函数在区间上的单调递增.（3）因为函数是定义在上奇函数，所以不等式可化为，又因为函数在区间上的单调递增，所以，解得.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，函数单调性的证明，利用函数的单调性解不等式，属于综合题.21.已知f（x）=ax2+bx+c（a0），满足条件f（x+1）-f（x）=2x（xR），且f（0）=1（）求f（x）的解析式；（）当x0时，f（x）mx-3恒成立，求实数m的取值范围【答案】（

14、）f（x）=x2-x+1；（）（-，3. 【解析】【分析】（）根据f（0）=1及f（x+1）-f（x）=2x，代入解析式，根据对应位置系数相等，即可求得a、b、c的值，得到f（x）的解析式（）将解析式代入不等式，构造函数g（x）=x2-（m+1）x+4，即求当x0，+）时g（x） 40恒成立讨论g（x）的对称轴x=与0的大小关系，根据对称及单调性即可求得m的取值范围【详解】（）由f（0）=1得，c=1，由f（x+1）-f（x）=2x，得a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+c）=2x化简得，2ax+a+b=2x，所以：2a=2，a+b=1，可得：a=1，b=-1，c=1，所以f（x

15、）=x2-x+1；（）由题意得，x2-x+1mx-3，x0，+）恒成立即：g（x）=x2-（m+1）x+40，x0，+）恒成立其对称轴x=，当0，即m-1时，g（x）在（0，+）上单调递增，g（0）=40m-1成立当0时，满足计算得：-1m3综上所述，实数m的取值范围是（-，3【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数对称轴、单调性与恒成立问题的综合应用，属于中档题22.已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）已知,，求函数在，2上的最大值和最小值；（3）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.【解析】分析：（1）由是偶函数，知函数的对称轴是，再由二次函数性质可得；（2）由（1），按的正负分类去绝对值符号，得两个二次函数，配方得对称轴，再按对称轴与区间的关系分类可求得最值；（3）假设存在，并设点坐标P，其中为正整数，为自然数，则，从而，即 ，注意到43是质数，且，可得，从而得解.详解：（1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故. 又因为二次函数的图象过点（1，