水文统计课件：6 - 估计理论(2016)

1、第七章估计理论,基本内容：参数估计和非参数估计 如何根据随机变量的样本，采用适当的方法，对总体分布中的未知参数或数字特征作出估计，这就是参数估计问题。 参数估计形式：点估计和区间估计 点估计：用一个具体的数值去估计一个未知参数； 区间估计：用一个区间去估计未知参数。 当总体分布未知时，对其分布（包括分布密度、分 布函数的类型等）进行估计就是非参数估计问题。,第一节水文频率计算的一般问题 一、设计标准 水利建设的目的：除害兴利 ，解决天然来水与用水的不相适应的矛盾。要做到“经济合理”又“安全可靠”。在规划设计时，就要确定一个合理的工程规模或设计标准。 早期水利设施多以防洪为目的，常用历史上出现过

2、的某次大洪水或加上一个安全系数作为设计标准。存在问题： （1）水利设施是在未来使用的，在未来使用期内会不会出现更大的洪水？（2）对历史上水文情况的了解是与所掌握的资料多少有关，对资料充分与不充分的情况，如何加安全系数？（3）各种工程重要性不同，设计标准应有所区别，统一用历史洪水（或加一个安全系数）作为设计标准，就可能发生设计标准偏高或偏低。,一、设计标准 后来，人们根据水文现象的随机性，用概率来描未来出现各种大小洪水的可能性，设计时，对给定的概率p（水文上习惯称为频率），选择满足,P称为设计频率（也称保证率）；xp称为设计值。,重现期,重现期T表示事件（Xxp）出现的平均轮转年数，表示该水文事

3、件每T年出现一次。,引入频率概念后，就可按频率划分等级确定设计标准了。重要工程，设计频率取小些（设计值大些），对次要工程，设计频率取得大些。 因此，设计频率也就成了设计标准了。 设计标准是由国家制订的，设计时应根据工程的重要性选取。,在p50%时采用,例如研究暴雨洪水。 当p50%时，一般采用下式：,此时T表示每T年出现一次事件（Xxp），常用于研究枯水径流或干旱问题。,水文频率计算的基本问题,二线型选择 要得到合理的频率计算成果，首先要有符合水文现象的概率模型。 在水文实际工作中，目前选择线型还是经验性的。即根据实测水文资料经验频率分布的情况，选配适当概率分布模型，并根据所选配的曲线与经验分

4、布点据拟合情况的好坏判断理论模型是否适当。由于实际应用中评判拟合优劣的标准不同，所得结论往往相差很大。,二线型选择 一般，选配频率曲线根据下列两条原则： （1）理论密度曲线的形状大致符合水文现象的物理性质，曲线的一端或两端有限，不应出现负值； （2）概率密度函数的数学性质简单，计算方便，同时应有一定的弹性，但有不宜包含过多的参数。 水利水电工程水文计算或设计洪水规范中规定采用P 型分布。,三参数估计和误差分析 每一种概率分布，还必须确定其中的参数，才能进行频率计算。 同样，这些参数是无法根据水文现象的物理机制确定的，而必须利用实测资料加以估计。这就要研究估计方法。同时，既然是估计，就不可避免地

5、会有误差。 因此，参数估计和误差分析是水文频率计算的另一重要内容。,第二节P 型分布,P型分布的概率密度,P-型分布密度曲线,1、P 型分布的参数,P-型分布密度曲线,P 型分布的参数,一a0非负，所以,二实测资料中的最小值xmin一般大于总体中的真正最小值a0，所以,，其中,2、P 型分布频率曲线,将X标准化，令 （称为离均系数）,同理，是p与Cs函数。现已编制Csp关系数值表供查用，称为P型分布离均系数值表，见附表4。,因为值与p有关，所以有时将写成p，根据上式求得满足关系式：,例：设X服P型分布，且E（X）1000，Cv=0.50，Cs=2.00，求: p=0.2%的xp值； P(X25

6、00)。,3、P 型分布频率曲线的绘制,（1）理论频率曲线 若已知E（X）、Cv、Cs，由P型分布值表，可查得与各种（超过制）频率p相应的p值；再利用，可得到相应的xp。将点（p， xp ）点绘在座标纸上，即可联成一条光滑的频率曲线，称为理论频率曲线（区别于经验频率曲线）。 （2）概率格纸,第三节参数估计的数理统计方法,一参数点估计 设随机变量X的分布函数 已知，其中为个未知参数， 需要利用X 的样本估计它 们的值，这就是参数的点估计问题。,1、矩法 由大数定律，当时，样本的各阶 矩也必相应地趋近于总体的各阶矩。,可以证明： 样本的各种数字特征都是总体同名特征的矩 估计量。,解方程组得：,作为

7、参数 的矩估计量。当观测到一个具体的样本 （x1，x2，xn）时代入上式估计量，得一组估计 值 ，并令,例1：设（X1，X2，Xn）为总体X的一个样本，求总体的均值a和方差2的矩估计。 例2：设总体X服从指数分布，其分布密度为,其中0为未知参数，现有X的一组样本值：0.17，0.05，0.15，0.06，0.28，0.05，试求的矩估计量和矩估计值。 例3：设总体X在a，b区间上服从均匀分布，求a，b的矩估计量。,2、极大似然法 极大似然法原理：若某项试验有多项可能的结果，它们发生的概率各不相同，那么在一次试验之前，可以合理地认为发生概率最大的那个事件将要发生；反之，如果在一次试验中，某个事件

8、发生了，那么认为在诸事件中，该事件发生的概率为最大也是合理的。,极大似然法,设随机变量X的密度函数 ，其中为个未知参数， 为X 的样本，则n维随机变 量（）的联合概率密度函数 为：,上式称为样本的似然函数。,设为一实测样本，则随机 变量落在点邻域 内的概率为：,根据极大似然原理，应该认为作为n元随机变量的样本的取值，在领域内的概率较大，或者说取得这一组数值的概率密度比取得其他数值的概率密度要大。 这等价于似然函数L在已知样本值处比较大，而对似然函数而言，是常数，而参数 ， ， 是自变量，极大似然法就是将使L取得极大值的参数作为估计值。,使函数 达到最大的可由下式求 得：,或,上式称为似然方程。

9、,极大似然估计量,极大似然估计值,例4：设（X1，X2，Xn）为正态总体X的一个样 本，求a，2的极大似然估计。 例5：设总体X的密度函数为,其中0为未知参数，设x1，x2，xn为X的样本， 试求的矩估计和极大似然估计。,1、矩法的一个优点是寻求总体的数学期望、方差、变差系数、偏态系数等的估计量时无须知道随机变量的分布函数。 2、应用极大似然法时必须知道总体的概率分布，但是极大似然法的性质要比矩估计量好。在数理统计中，极大似然法被认为是最好的方法。,二、参数的区间估计,所谓区间估计，就是要构造两个统计量 和 ，且 对样本的任何值 都有，于是，可以以一定的可 靠度估计参数的真值包括在区间 内。即

10、,二、参数的区间估计,为置信概率； 为置信区间； ，为置信下限和置信上限。,注意下列两式的区别,其中（x1，x2）为预测区间.,若从总体中反复抽取容量相同的样本，得到许多 其中有的包含，有的不包含，当试验次数很多时， 约有100（）个区间包含，见上图。,1正态总体均值的区间估计（1）方差已知,将一个具体样本代入，得：,从而,若2未知，但样本很大，可用S2代替2 。,（2）方差未知, t(n-1),将一个具体样本代入，得：,例1对一段距离测量16次，测得数据（单位：km）为：2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2

11、.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11。设测量值X服从N(a，2)分布，试在下列情况下求实际距离a的95%的置信区间：已知0.01； 未知。P194例2 对某事件A作了1000次试验，发现A发生了600次，试以0.95的置信度估计A发生概率p的置信区间。 P196 例3 对某商品的价格进行10次调查，该商品的价格与规定价格之差如下：2，1，-2，3，2，4，5，-2，3，4设该商品的价格与规定价格之差X服从正态分布N（a，2），求X的方差D(X)的置信度为0.95的置信区间。,2正态总体方差的区间估计,得：,其中：,设事件A发生的概率为p，在n次重复独立试验中，A出

12、现了m次，由德莫佛拉普拉斯定理知：,渐近于正态N（0，1），因此，当n足 够大时，近似地有：,化简后得：,3事件概率的区间估计,第四节参数估计的水文统计法,由于水文变量的样本一般都很小，使得应用数理统计中的各种方法的结果都不太好。 本节只介绍P型分布参数的估计方法，着重介绍我国水文统计现行的适线法。 适线法是一种图解法，它是集线型选择和参数估计于一体的一种方法，是我国水文统计中的一种基本方法。,一适线法的基本思想 （1）设x1，x2,，xn为水文变量X的样本，将其按由大到小顺序排列为,（2）采用某种经验频率公式，计算样本频 率，并称之为经验频率。,适线法的基本思想,（3）将经验频率点据 点 绘

13、在概率格纸上，可得到经验频率曲线。,（4）假定X的分布符合某种已知的概率模型 （如P型），其密度函数为,其中为未知参数。,适线法的基本思想,（5）则选定参数的一组初值 后，通过积分：,可得到X的理论频率曲线pG（x）,将它绘到同一张概率纸上。,适线法的基本思想,（5）检查理论频率曲线与经验点据的拟合情况，如拟合良好，就采用所选的一组参数作为总体参数的估计值，如拟合不好，可另选一组参数，重复上述过程，直到拟合满意为止。,用适线法估计参数的好坏决定于三个问题： （1）总体分布线型是否行当； （2）经验点据的位置是否绘得合理； （3）用什么准则判断理论频率曲线与经验 占据拟合的好坏。,例 P169已

14、知某水文站平均流量资料，假设总体服从P-3型分布，试用适线法估计参数E(X)、Cv、及Cs.,第一次配线,第二次配线,适线法估计参数的三个问题,（一）总体分布的线型是否得当； （二）经验点的位置是否绘得合理； （三）用什么准则判断理论频率曲线 与经验点据拟合的好坏。,特大值处理,、分别处理法,特大洪水：,一般洪水：,、统一处理法,调查考证期； a 在年中连续顺位的特大洪水项数； 实测洪水系列中抽出作特大洪水处理的项。,（a）连序样本；（b）不连序样本,例：某坝址断面处水文站，经插补延长后得到19521978年共27年的洪峰流量资料。1979年进行设计时，经调查考证获得两次洪水资料；1788年约

15、为m=9200m3/s，是1788年以来的最大值；1909年m=6710m3/s，是1909年以来的第二位。实测系列中的1954年m=7400m3/s为1909年以来的第一位。为在该处修建一座水库，需根据以上资料，推求1000年一遇的设计洪峰流量。,统计参数的初估：,例2： 河 站，自19531986年中，有两年资料缺测，且无法插补。在年实测资料中，1982年洪水最大；1964年次大；1978年洪水最小。经调查考证获得1905年和1931年两次历史洪水信息，即1905年洪水大于1931年的洪水，但都没有1982年洪水大，且已查清在1905年1986年的82年中没有遗漏比1931年更大的洪水。又

16、经文献考评1764年曾经发生过一次量级比1982年还要大的洪水，是1764年以来的最大洪水，但因年代久远，17641905年间的其他洪水情况未能查清。,第五节估计方法好坏的评选标准,参数估计的方法很多，对于总体的某一参数，可以构造出许多不同的统计量，如何评价统计量的优劣？ 1、无偏性 无偏估计量是没有“系统偏差”的估计量。对于无偏估计量U来讲，虽然不同的样本，它的取值也不同，但这些取值的平均数等于参数。,应当注意： 若U是u0的无偏估计量，g(u0)是u0的任意函数，一般来说，g(U)不是g(u0)的无偏估计量，即一般E g(U) g(u0) 。 例如：,但,所以样本均方差s*不是总体均方差的

17、无偏估计量。事实上,所以,这说明用s*估计时，平均而言总是偏小的。,2、有效性 总体的同一个未知参数可能有许多无偏估计量。由于各无偏估计量都是围绕着待估参数摆动，其好坏自然应当是在样本容量相同时，摆动愈小愈好，而刻划摆动程度的指标是方差，方差愈小，摆动愈小，抽样误差也就愈小。 设U1，U2都是参数u0的无偏估计量，若对任一n 成立，则称估计量U1较U2有效。 设 作为数学期望的估计量，可以证明，,在满足某些条件下，对一般的总体F（x，u0），都存在一个正数De，使得u0的任何无偏估计量U的方差D（U）都不会小于De ，这个De称为无偏估计量的方差的下界。它的数值与总体概率密度及样本容量有关，其表达式为：,而不等式,称克拉美罗不等式。,3、一致性 若参数u0的估计量U，对任意0具有性质 则称U为