高中数学最新学案 第2章 第7课时 等差数列的前n项和（2）（教师版） 新人教A版必修

1、第7课时等差数列的前n项和（2）【学习导航】知识网络 学习要求 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题【自学评价】1. 等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k(kN*)成等差数列，公差为k2d.2.在等差数列an中，若a10，d0，则Sn存在最大值.若a10,d0，则Sn存在最小值.3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)利用:当0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值当0，前n项和有最小值可由 0，且0，求得n的值(2)利用：由二次函数配方法求得最值时n的值【精典范例

2、】【例1】已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为286，求数列的项数。分析 条件中的8项可分为4组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。【解】 ，。听课随笔【例2】已知两个等差数列an、bn，它们的前n项和分别是Sn、Sn，若,求.【解法一】 2a9=a1+a17,2b9=b1+b17,S17=17a9,S17=17b9,.【解法二】 an、bn是等差数列，可设Sn=An2+Bn,Sn=An2+Bn(A、B、A、BR),进而可设Sn=(2n2+3n)t,Sn=(3n2n)t(tR,t0),an=SnSn1=(2n2+3n)t2(n1)2+3(n1)t=(4n+1)t,a93

3、7t.同理可得bn=SnSn1=(3n2n)t3(n1)2(n1)t=(6n4)t,b9=50t,.【例3】数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.(1)求数列的公差.(2)求前n项和Sn的最大值.(3)当Sn0时，求n的最大值.【解】 (1)由已知a6=a1+5d=23+5d0,a7=a1+6d=23+6d0,解得:d,又dZ,d=4(2)d0，an是递减数列，又a60，a70当n=6时，Sn取得最大值，S6=623+ (4)=78(3)Sn=23n+ (4)0，整理得：n(504n)00n,又nN*,所求n的最大值为12.点评： 可将本题中的公差为整数的条件去

4、掉，再考虑当n为何值时，数列an的前n项和取到最大值.【例4】等差数列中，该数列的前多少项和最小？思路1：求出的函数解析式（n的二次函数, ），再求函数取得最小值时的n值.思路2：公差不为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为：思路3：由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.思维点拔：说明：根据项的值判断前 项和的最值有以下结论：当时，则最小；当时，则最大；当时，则最小；当时，则最大【追踪训练一】1. 已知在等差数列an中，a10，S25S45，若Sn最小，则n为（ B ）A.25 B.35 C.36 D.452.等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100

5、，则它的前3m项的和为（ C ）A.130 B.170 C.210 D.2603. 两等差数列an、bn的前n项和的比，则的值是（ B ）A B C D4.在等差数列an中，已知a14a15a17a1882，则S31.5.在等差数列an中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于_9_.6.在等差数列an中，an=n,当n为何值时，前n项和Sn取得最小值？听课随笔【解法一】 由可解得6n7，可知前6项都是正数，第7项为0，因此S6=S7为Sn的最小值.【解法二】 由an=知Sn=a1+a2+an=当n=6或n=7时,Sn取得最小值.【选修延伸】【例5】 已知数列的前

6、项和，求数列的前项和。分析 ：由知是关于的无常数项的二次函数（），可知为等差数列，可求出，然后再判断哪些项为正，那些项为负，求出。【解】当时，；当，。时适合上式，的通项公式为。由，得，即当时，；当时，。（1）当时，（2）当时，.。【追踪训练二】1. 在等差数列an中，已知S15=90,那么a8等于（ C ）A.3 B.4 C.6 D.122.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ B ）A.9 B.10 C.11 D.123.等差数列an的通项公式是an=2n+1,由bn= (nN*)确定的数列bn的前n项和是（ A ）A. n(n+5) B. n(n+4)C. n(2n+7) D.n(n+2)4.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为3227，则公差d等于_5_.【解析】由已知，又S偶+S奇=354S偶=(S偶+S奇)=192 S奇=162 d=5【答案】55.已知数列an的前n项和是Sn=32nn2,求数列an的前n项和Sn.【解】 a1=S1=32112=31,当n2时，an=SnSn1=332n,又由an0，得n16.5,即an前16项为正，以后