高中数学 第九章 两条异面直线所成的角练习课教学案 苏教版

1、两条异面直线所成的角练习课 教学目标1记忆并理解余弦定理；2应用余弦定理来求异面直线所成的角教学重点和难点这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦这节课的难点是使学生初步理解当cos0时，090，当cos=0时，=90，当cos0时，90180教学设计过程一、余弦定理师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？生：余弦定理有两种表述的形式，即：a2=b2c2-2bccos Ab2=c2+a2-2cacos Bc2=a2b2-2abcos C第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角师：在立体几何中

2、我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角在余弦定理的第二个形式中，我们知道b2c2可以等于a2；也可以小于a2；也可以大于a2那么，我们想当b2+c2=a2时，A等于多少度？为什么？生：当b2c2=a2时，由勾股定理的逆定理可知A=90师：当b2c2a2时，A应该是什么样的角呢？生：因为cosA0，所以A应该是锐角师：当b2c2a2时，A应该是什么样的角呢？生：因为这时cosA0，所以A应该是钝角师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可初步理解后应该记住、会用现在明确提出当cos=0时，=90，是直角；当cos0时，090，是锐角当cos0时，90180，是钝角下

3、面请同学们回答下列问题：生：等于60， 等于120师：这时和 是什么关系？生：和 是互为补角师：再回答下列问题：生：1等于45， 1等于135，1+ 1=180；2等于30， 2=150，2+ 2=180师：一般说来，当cos=-cos 时，角与角 是什么关系？生：角与角 是互补的两个角即一个为锐角，一个为钝角，且 =180（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可）二、余弦定理的应用例1 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦（如图1）师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A1B和AD1所成的

4、角是哪一个角？生：因为CD1A1B，所以AD1C即为A1B与AD1所成的角师：AD1C在AD1C中，求出AD1C的三边，然后再用余弦定理求出AD1C的余弦师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形现在我们再来看例2例2 在长方体ABCDA1B1C1D1中，C1BC=45，B1AB=60求AB1与BC1所成角的余弦（如图2）师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理生：因为BC1AD1，所以AB1与BC1所成的

5、角即为D1AB1根师：现在我们来看例3例3 已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点求A1M与C1N所成的角的余弦（如图3）（1992年高考题）师：我们要求A1M与C1N所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法在直观图中，根据条件我们如何把A1M用两次平移的方法作出与C1N所成的角？生：取A1B1的中点E，连BE，由平面几何可知BEA1M1，再取EB1的中点F，连FN由平面几何可知FNBE，所以NFA1M所以C1NF即为A1M与C1N所成的角师：还可以用什么方法作出A1M与C1N所成的角？生：当BEA1M后，可取C1C中点G，连BG，则BGC

6、1N，师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例4例4 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1与BD所成的角的余弦（如图4）师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC1与BD所成的角。生：连AC，设ACBD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，定理，得师：想一想第二个解法生：取AC1中点O1，B1B中点G在C1O1G中，C1O1G即一可知：师：想一想第三个解法当然还是根据异面直线所成的角概念首先作出这个角有时可根据题目的要求在长方体外作平行直线生：延长CD到E，使ED=DC则ABDE为平行四边形AE

7、BD，所以EAC1即为AC1与BD所成的角（如图5）连EC1，在由余弦定理，得所以EAC1为钝角根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为师：根据这一道题的三种解法，我们可以看出，当用异面直线所成的角的概念，作出所成的角，这时所作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）今天就讲这四个例题，这四个例题都是要用余弦定理来求异面直线所成的角作业补充题3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是AB，BC中点求：（1）异面直线A1D1和