定积分计算技巧

1、.1. 定积分的几何意义2例 1.2x x2 dx = _0解法 12222由定积分的几何意义知，2x x dx 等于上半圆周 (x1)y 1 ( y 0 )0与 x 轴所围成的图形的面积故220 2xx dx =22. 利用积分不等式np例 1.求 limnnsin xdx ,p, n 为自然数x解法利用积分不等式因为n p sin xn p sin xn p 1n pndxndxndx ln,xxxn而 limln np0 ,所以n nlimnp sin x0 nxdxn例 2.求 lim1 xndx 0 1xn解法因为 0x1，故有0xnxn 1x于是可得1xndx1n0xx dx0 1

2、0又由于110(n) xndx0n1因此lim1xndx = 0 0n1x3.利用被积函数的奇偶性求定积分12x2x例 1.计算dx 1 1 1 x2分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性121212解2 xxdx =2 xdxxdx 由于2 x是偶 函数 ，而1111 x21x21x21 1 x2111x是奇函数，有1xdx0, 于是1 1x2111x2;.2x2221 2 x x1dx = 41 x (11 x )112dx11 1 x2dx = 4x2dx = 4 dx41 x0 11 x2000由定积分的几何意义可知12dx, 故01 x412x2x11dx4 0

3、 dx4411x24例 2.计算.解虽然在上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可以利用得原式.4. 设 f(x) 为周期函数且连续，周期为t，则.事实上由于于是例 1. 设表示距离 x 最近整数的距离，计算解由且为周期函数，周期为1，于是5.利用积分中值定理np例 1. 求 limnnsin xdx ,p, n 为自然数;.解法利用积分中值定理设 f (x)sin xp 上连续 ,由积分中值定理得, 显然 f ( x) 在 n, nxn p sin xsinp , n, n p ,dxnx当 n时 , 而 sin1, 故limn pnn1xn例 2.dx 求 limn0

4、1xsin xsindx limp 0xbb解法由积分中值定理a f()g( )dx f()( )可知xxa g x dx1xn=11 n，010 1x dx10 x dx又lim1xn dxlim10 且 111 ，n0nn121故lim1xndx0 0n1x6.利用适当变量变换求定积分例 1. 设 f(x) 在0 ，1 上连续，计算解设于是得例 2. 设函数 f(x)在内满足且，计算解法一;.解法二当时，于是例 46设解 原式7.利用定积分公式公式 1：设 f(x)在0,1上连续，则事实上移项两边同除以2 得.公式 2：记;.于是由于递推公式每次降2 次，要讨论n 为奇偶数的情形，由公式 3：证由，知的周期为，当然也是它的周期，利周期函数定积分的性质，有而由于 2n 是偶数，故公式 4.证例 54证明.证公式 5 设 f(x)在 0,1上连续，则.;.证