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1、圆锥曲线三种弦长问题的探究在高考中,圆锥曲线的综合问题,常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体,而直线与圆锥曲线的弦长问题,是在圆锥曲线中常见一个重要方面,下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究:一、一般弦长计算问题:例1、已知椭圆,直线被椭圆C截得的弦长为,且,过椭圆C的右焦点且斜率为的直线被椭圆C截的弦长AB,求椭圆的方程;弦AB的长度.思路分析:把直线的方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求解.解析:由被椭圆C截得的弦长为,得, 又,即,所以. 联立得,所以所求的椭圆的方程为. 椭圆的右焦点,的方程为:, 代入椭圆C的方程,化简得,由韦达定理知,从而,由弦长公式
2、,得,即弦AB的长度为点评:本题抓住的特点简便地得出方程,再根据得方程,从而求得待定系数,得出椭圆的方程,解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,常用韦达定理与弦长公式。二、中点弦长问题:例2、过点作抛物线的弦AB,恰被点P平分,求AB的所在直线方程及弦AB的长度。思路分析:因为所求弦通过定点P,所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率,有P是弦的中点,所以可用作差或韦达定理求得,然后套用弦长公式可求解弦长.解法1:设以P为中点的弦AB端点坐标为,则有,两式相减,得又则,所以所求直线AB的方程为,即.解法2:设AB所在的直线方程为 由,整理得. 设,由韦达定理得, 又P是AB的中点,所以所求直线AB的方程为.由 整理得,则有弦长公式得,.点评:解决弦的中点有两种常用方法,一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件;二是利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造中点坐标和斜率的关系求解,然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题:例3、(同例1、)另解:椭圆的右焦点,的方程为: , 代入椭圆C的方程,化简得,由韦达定理知,由过右焦点,有焦半径公式的弦长为. 即弦AB的长度为点评:在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,通常应用韦
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