中学数学建模

1、.,黑龙江省教育学院数学系 曲 巍,中学数学建模应用,.,函数与不等式 数 列 三 角 几 何,.,函数与不等式,一次函数模型 二次函数模型 幂函数、指数函数、对数函数模型 不等式模型,.,建模(或知识应用)提示 1.实际问题中的数量关系模糊,数据孤立,要对有关数据作适当处理后借助于其内在规律或经验,将其理想化、函数模型化. 2.抓住相关变量中的主要参变量关系展开分析与讨论. 3.实际问题中的量具有特殊的含义,在建立函数或不等式关系时需注意其有意义的变化范围,不能只考虑纯数学关系. 4.问题所讨论的结果最好具有范式,具有可推广性.,.,一次函数模型,高跟鞋问题 如何选择广告上的优惠计划 包装与

2、价格,.,高跟鞋问题,设某人下肢躯干部分长为x厘米, 身高为l厘米,鞋跟高d厘米,.,鞋跟高度与好看程度的关系,.,如何选择广告上的优惠计划,实际背景 为配合不同客户的需要,广告商设有以 下优惠计划,以供客户选择.,.,问题在两个计划中选择,你选择哪一项? 分析 (1)两项服务的不同点:计划A的每月基本服务 费比计划B少,而计划B比计划A给客户的首 段免费通话时间多. (2)模型假设与建立 设t(分钟)为通话时间,而C()是所需付出 的费用,则可列出计划A与计划B的付费函数 关系式为:,.,计划A:,(t60),计划B:,(t500),.,(3)究竟通话时间超过多少分钟,计划B会较 计划A为优

3、? 0.38(t - 60)+98=168 得 t=244.21(分钟) 故当客户使用该服务的时间超过244分 钟(约4小时)时,计划B较优. (4)问题推广 若客户真的选择了计划B,最多可以比选 择计划A省多少钱?,.,解决 由图可知,起初计划A比计划B便宜 70 ,当使用时间超过60分钟, 则两者差距缩小,直到Q点,两者已无差距, 即表示两个计划在此时的优惠相同. 由图,用户所得最大优惠差额为 97,t,.,包装与价格,某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的,有60g装和150g装两种规格.假设,冰淇淋售价=(冰淇淋成本+包装成本)(1+利润率),并且,包装成本与球形外壳表面积成正比.已知60g装

4、冰淇淋售价1.50元,其中冰淇淋成本为每克1分钱,利润率为25%,问在利润率不变的情况下, 150g装冰淇淋应售价多少?两种规格中,买哪种比较合算( 3.684可供参考)?,.,分析 设60g装冰淇淋的包装成本为x元,根据题意,得 解得x=0.60(元) 又设60g装和150g装两种规格外壳表面积分别为s1、s2,容积为v1 、v2 ,150g装冰淇淋包装成本为y元,根据题意,得,.,所以,从而,.,故买大包装合算,.,二次函数模型,渔场实际应养多少鱼 关于饮水机的思考 资金分配问题,.,渔场实际应养多少鱼,问题某渔场中渔群的最大养殖量为一定值m吨.为保证渔群的生产空间,实际养殖量不能达到最大

5、养殖量,必须留出适当的空闲量.由长期的统计数据可知,鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比,要想鱼群的年增长量最大,实际应养多少鱼?,.,建模分析这一问题中涉及最大养殖量、实际养殖量、空闲量、空闲率、年增长量等多个量，其中最大养殖量为定值m吨，空闲量、空闲率、年增长量都随实际养殖量的变化而变化。,.,建立模型假设实际养殖量为x吨，年增长量为y吨，则空闲量为(m-x)吨，空闲率为 ，由问题概述可建立目标函数为,.,.,即实际养殖量为最大养殖量的一半时，鱼群的年增长量最大，最 大增长量为 吨。,.,关于饮水机的思考,基本假设 （）忽略饮水机启动时所需的 电能 （）当人回来时，水的温度恰为

6、制热所能达到的最高温度,.,符号的约定 饮水机的制热功率（单位：） 饮水机的保温功率（单位：） 饮水机的制热最低温度（单位：） 饮水机的保温最低温度（单位：） 饮水机机内水的质量 （单位：kg）,.,饮水机的电阻（单位： ） 饮水机的工作电压（单位：） 把水从室温加热到的时间 （单位：s） 在保温情况下，从降到的 间（单位：s） 水的比热（单位：kg ）,.,在保温过程中,水吸收的热量:,水散失的热量:,单位时间内水散失的热量:,.,当外出开着饮水机时,在外出时间t内,消耗的电能:,当外出关掉饮水机时,回来后重新启动,饮水机消耗的电能:,.,1.当 时,则外出时开着饮水机 较为省电, 即,所以

7、,2.当 时,则外出时关掉饮水机 较为省电, 即,.,模型的应用与评价,一台TC-9901LW型的饮水机,经测量,所需的数据如下:,则,.,资金分配问题,有甲、乙两种商品,经营销售这两种商 品所获得的利润依次为P万元和Q万元. 它们与投入资金万元有如下经验公式:,现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金应如何分配投入?,.,建模分析 设对甲种商品投入万元, 则投入乙种商品为(3-)万元,所获得的利润总额(万元)为,.,模型求解 设 ,则,则原函数变形为,.,当 时, 即,因此,为获取最大利润,对甲、乙两种商品 的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元,

8、获得的最大利润为1.05万元.,.,幂函数、指数函数、对数函数模型,基本处理方法,.,.,.,交通流量问题,生活背景 由于人口的增加,人们生活 水平的提高,社会拥有车辆的数量在快 速增加,许多大中城市都车满为患,塞 车现象处处可见,所以每一位司机和乘 客,都会共同关心交通流量的问题,.,交通流量的定义 设某一辆车的车头与随后的车相隔的距离为,而行驶的车速为,定义单位时间内通过的车辆数为交通流量,则交通流量有以下关系式:,.,分析 定义车距:前车车尾至后车车头间的距离,记为 ,L表示车长.则,(1)在交通拥挤的情况下, 由于 ,故,(2)在交通畅通的情况(如高速公路)下, 由于 ,故,.,由于

9、,其中t为煞车前的反应时间,所以,故,.,评价 遇上交通拥挤时,影响交通流量的主要是车速与车长,在这种情况下,车速自然要放慢,否则只会发生意外.因此,影响最大的因素就是车长,在马路上排队的短身车辆,明显地对交通流量增加有不小的“贡献”.至于在高速公路上,影响交通流量的最主要因素不是速度而是架车者的反应.,.,不等式模型,洗衣问题 挑选水果问题 足球射门问题,.,.,.,.,.,洗衣问题,用洗衣机洗衣时,洗涤并甩干后进入漂洗阶段,漂洗阶段由多次漂洗和甩干组成,每次漂洗后可使残留物均匀分布,每次甩干后(包括洗涤后的甩干)衣物中的残留水分(含有残留物)的重量相同.若漂洗的总用水量为千克,漂洗并甩干的

10、次数为3次,为使漂洗后衣物中的残留物最少,该如何确定每次漂洗的用水量?,.,设每次甩干后衣物中的残留水分(含有残留物)的重量为,洗涤并甩干后衣物中的残留物(不含水分)为 ,三次漂洗并甩干后衣物中的残留物(不含水分)分别为 ,三次用水量分别为 .(以上各量单位皆为千克),.,则由已知,得,.,同理可得,.,由 及平均值定理,得,当且仅当 时等号成立.,.,故,当且仅当 时等号成立.,则将千克的水平均分成三次使用可使 衣物上的残留物最少.,.,挑选水果问题,果皮较厚且核较小的水果（如西瓜、橘子等）,设水果果皮厚度为，则 可食率,为常数，当越大即水果越大，则越小，可食率越大,.,果皮较厚且核（或籽集

11、）较大的水果,设核半径为kR(k)，则 可食率,k为常数，越大，可食率越大,.,设有两堆体积相等的球，甲堆有m个，半 径分别为；乙堆有n个（ ），半径分别为 其中,果皮较薄，但考虑卫生与外界污染，必须去皮食用,.,.,因,.,.,.,从而有,即,这与 矛盾,故,不成立，于是,.,足球射门问题,在 足球比赛中，甲方边锋从乙方所守球门附近带球过人，沿直线向前推进，如图所示。已知前进方向的直线与底线垂直，交底线于球门AB的延长线上的D点，试求在距底线多远处射门，可有最大的入射范围角,C,.,分析与解设甲方边锋所在位置C距底线的距离为x,即CD=x,并设DB=b,DA=a,ab0,a,b为定值, 再设

12、,C,.,C,.,.,.,数列模型,建模(或知识应用)提示 1.要熟悉相关行业的一些基本知识,专业术语. 2.在解决某一问题时,必须实事求是地搜集大量的有关信息、资料、数据. 3.对取得的信息、数据要进行整理、处理.,.,4.进行合理的数学假设. 5.数列知识的应用相当广泛,经济领域中如银行的存贷款、证券、期货、保险、企业的产值、成本、仓储;社会问题中的人口增加、人口质量、土地及资源的利用及配置;环境问题中的水资源保护、空气污染、森林覆盖等等,都可运用数列知识解决或部分解决. 6.建立起模型后,一般应回到实际问题中加以检验,如若不符,应加以调整,直至基本符合.,.,如何存款问题,中国人民银行公

13、布(1999年)现行银行整存整取利率如表所示. 现有一位刚升入初一的学生家长,欲为其存1万元以供6年后上大学使用,问采取怎样的方案存款,可使6年所获收益最大?最大收益多少?,.,分析 首先可以作出数学假设:在此期间利率 不变.一般来说,对于存款,银行只计单 利不计复利,所以是等差数列.倘若某人 将定期存款到期后把本利又转入第二 个定期,此时才可计复利.,.,解:设年期存次(按复利计算)获利金 额记作 简记作 ;存一次 年期再存一次k年期获利金额记作,于是,一年期存两次获利金额(精确到分)为,两年期存一次获利金额为,所以,.,存一次一年期再存一次两年期的获利金额为,三年期存一次获利金额为,所以,

14、.,存一次两年期再存一次三年期的获利金额,五年期存一次的获利金额为,所以,.,三年期存两次的获利金额为,两年期存三次的获利金额为,.,存一次五年期再存一次一年期的获利金额为,所以 且,故存一次五年期一次一年期所获收益最大,为1697.40元,.,分期付款问题,李师傅准备购置一套商品房,需要向 银行贷款8万元才行.经咨询知道银行 贷款月利为0.01且为复利,贷款期为 25年.李师傅每月稳定可有950元的 结余,如果他准备按月偿还贷款,是否 具有偿还能力?,.,解设贷款A元,按月复利r计算,到 n月末的本利和为 元.另一 方面,若每月偿还金为a元,利息同 上,则n月末的本利合计为,.,.,三角模型

15、,建模或知识应用提示 1.凡与周期性振动有关或类似的问题,如水流、水波、声波、爆炸物爆炸后引起的振动等等,适宜建立三角函数模型. 2.一些与角有关的问题如视角、方位角,以及与旋转有关的问题也可以建立三角函数模型.,.,3.对于周期性变化的问题,要认真、准确、真实地收集数据,要从不同渠道、不同角度去取得数据. 4.认真处理收集到的数据,结合合理的数学假设,最终确定有效数据. 5.可以拟定几个不同的方案建立数学模型,然后利用已有数据或付之实践加以检验,通过对比误差或经过若干次适当调整后,确定最后方案.,.,怎样搬运家具,一转角沙发能否水平般进房间? 房门的宽为0.9米,墙厚0.28米,将转角沙 发

16、进行适当简化,其俯视图及尺寸如图所示,1.3米,0.48米,1.3米,0.48米,.,.,.,.,.,几何模型,建模(或知识应用)提示 1.分割不规则的或非常复杂的几何体,进行简化与假设. 2.进行数学抽象. 3.同一几何问题可以从不同角度加以研究. 4.善于归类. 5.几何问题一般可分为两类. (1)数学问题建立几何模型. (2)其他数学知识解决几何问题.,.,设计穿衣镜,背景近年来,一座座大商场相继出现,有些商场只重视外部装潢而忽视了一些细小而又方便顾客的地方.比如试衣间的镜子就应既能使试衣者全面看到自己的形象,又要设计美观新颖,并且节省材料.请设计最合理的试衣镜.,.,距地面最高点,所谓最高点即指眼睛通过镜子看到头顶的位置。一般人，眼睛到头顶、到脚的距离与身高之比为1：13：14。因此若计算最高点，应用185cm身高去计算,.,.,.,距地面最低点,.,宽度,.,.,例:如图,森林的边界是直线l,兔子和狼分别在l的垂线AC上的点A和点B处(AB=BC=a).现兔子