常系数非齐次

常系数非齐次Tag内容描述：<p>1、非齐次常系数线性微分方程的特殊解法摘要：本文首先给出了升阶法的定义，以及利用升阶法求常微分方程的特解，然后给出几个定理及其证明，运用这些定理可以求解非齐常系数线性微分方程，此为一般的方法.最后将所有常见的几种类型的微分方程归纳为一类，使得解方程的过程得到了有效的简化.关键词：非齐次；常系数；线性；解法1.引 言线性微分方程在常微分方程学中占有一定的地位，其中，研究非齐常系数线性微分方程的解法对进一步研究其他更复杂的常微分方程具有指导意义.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对。</p><p>2、非齐次常系数线性微分方程的特殊解法论文非齐次常系数线性微分方程的特殊解法摘要：本文首先给出了升阶法的定义，以及利用升阶法求常微分方程的特解，然后给出几个定理及其证明，运用这些定理可以求解非齐常系数线性微分方程，此为一般的方法.最后将所有常见的几种类型的微分方程归纳为一类，使得解方程的过程得到了有效的简化.关键词：非齐次；常系数；线性；解法1.引 言线性微分方程在常微分方程学中占有一定的地位，其中，研究非齐常系数线性微分方程的解法对进一步研究其他更复杂的常微分方程具有指导意义.微分方程差不多是和微积分同。</p><p>3、常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节 一、 二、 第十二章 Date阜师院数科院 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date阜师院数科院 一、 为实数 , 设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下。</p><p>4、常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节 一、 二、 第六章 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 为实数 , 设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的单根。</p><p>5、第九节 常系数非齐次线性微 分方程 0 待定系数法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对非齐次方程 则可设特解 : 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 18 例4. 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 19 内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为 为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 20 思考与练习 时可设特解为 时可设特解。</p><p>6、7.8小结: 解:特征方程: 实根 特 征 根通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 通解.求 特征根: 反之,若知道一个二阶方程有通解 或有特解: 则特征方程的根为: 若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程: 推广: 将不同根对应的项加在一起得原方程通解(系数要区分开). 7.9 常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 第七章 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式, 代入。</p><p>7、2019/3/30,高等数学课件,常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九节,一、,二、,第十二章,2019/3/30,高等数学课件,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/3/30,高等数学课件,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,机动 目录 。</p><p>8、第十二章 微分方程,第九节,上页 下页 返回 结束,常系数非齐次线性 微分方程,一、,二、,一般形式 :,非齐次项,根据解的结构定理 , 方程,求特解的方法,1. 根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式；,2. 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法：,上页 下页 返回 结束,的通解为,关键: 求特解y*.,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则,从而得到特解,形式为,为已知 m 次多项式 .,取Q (x) 为 m 次待定系数多项式,上页 下页 返回 结束,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解。</p><p>9、二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点 如何求特解？,方法 待定系数法.,一、 型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例2,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例3,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取。</p><p>10、常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九节,一、,二、,第十二章,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式。</p><p>11、二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,一、 型,第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例2,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）。</p>