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第九节 常系数非齐次线性微 分方程 0 待定系数法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对非齐次方程 则可设特解 : 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 18 例4. 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 19 内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为 为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 20 思考与练习 时可设特解为 时可设特解为 提示: 1 . (填空) 设 21 2. 求微分方程 的通解 (其中 为实数 ) . 解: 特征方程特征根: 对应齐次方程通解: 时,代入原方程得 故原方程通解为 时,代入原方程得 故原方程通解为 22 3. 已知二阶常微分方程 有特解 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 23 4. 求解定解问题 解: 本题特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为代入方程得故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 24 于是所求解为 解得 25 5. 解: (1) 特征方程 有二重根所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 26 作业 P317 1 (1) ,
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