常系数齐次微分方程

常系数齐次微分方程Tag内容描述：<p>1、常系数,第七节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,特征方程,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程的通解为,特征方程,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根。</p><p>2、第四节 二阶常系数线性齐次微分方程,方程,为二阶常系数线性微分方程,其中 、 、 是已知常数,且,为二阶常系数线性齐次微分方程,下面介绍方程 解的结构.,证明,把 、 代入方程 的左边，得,常数,否则称 、 线性相关,将其代入以上方程, 得,故有,特征方程,特征根,的解法,方程有两个线性无关的特解,所以方程的通解为,特征根为,()当 ,特征方程有两相异实根,根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论,(2) 当 ,方程有两个相等的实根,若 是原方程的解,应有,所以方程的通解为,将 代入以上方程,得,因 ,故,所以,特征根为,(3) 当 ,方程有一对共轭复根,利。</p><p>3、12.8 二阶常系数齐次线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解,方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.,特征方程及其根,特征方程的求根公式为,下页,二阶常系数齐次线性微分方程,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),下页,特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,第一步 写出微分方。</p><p>4、1,二阶常系数齐次线性方程定义,二阶常系数齐次线性方程解法,小结 思考题 作业,n阶常系数齐次线性方程解法,5.7 常系数齐次线性微分方程,齐次,常系数,常系数齐次,常系数齐次,常系数齐次,第5章 微分方程,2,方程,二阶常系数非齐次线性方程,二阶,常系数,齐次,线性,一、定义,3,- 特征方程法,将其代入方程,故有,特征根,二阶,设解,得,特征方程,常系数,齐次,线性方程,(characteristic equation),(characteristic root),二、二阶常系数齐次线性方程解法,其中r为待定常数.,4,两个 特解,的通解的不同形式.,有两个不相等的实根,特征根r的不同情况决定了。</p><p>5、一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,1. 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,2.有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,3.有一对共轭复根,重新组合,得。</p>