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第四节 二阶常系数线性齐次微分方程,方程,为二阶常系数线性微分方程,其中 、 、 是已知常数,且,为二阶常系数线性齐次微分方程,下面介绍方程 解的结构.,证明,把 、 代入方程 的左边，得,常数,否则称 、 线性相关,将其代入以上方程, 得,故有,特征方程,特征根,的解法,方程有两个线性无关的特解,所以方程的通解为,特征根为,()当 ,特征方程有两相异实根,根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论,(2) 当 ,方程有两个相等的实根,若 是原方程的解,应有,所以方程的通解为,将 代入以上方程,得,因 ,故,所以,特征根为,(3) 当 ,方程有一对共轭复根,利用欧拉公式,可将 和 改写成如下形式,重新组合,得方程的通解为,不难看出 和 线性无关,求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,按下表写出方程的通解.,( 4) 若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件代入通解中,即可确定 、 ,从而获得满足初始条件的特解.,例5-13 求下列方程的通解,解 (1)特征方程为,所以方程的通解为,解得,所以方程的通解为,解得,(2)特征方程为,所以方程的通解为,(3)特征方程为,解得,解 特征方程为,即,特征方程有两个不相等的实数根,所以所求方程的通解为,对上式求导,得,将 、 代入以上二式,得,解此方程组，得,所以所求特解为,解 特征方程为,即,特征方程有两个相等的实数根,所以所求方程的通解为,对上式求导,得,将 、 代入以上二式,得,解此方程组，得,所以所求特解为,解 特征方程为,特征根为,所以所求方程的通解为,对上式求导,得,所以所求特解为,将 、 代入以上二式,得,主要内容,二阶常系数线性齐次微分方程及其解法,解法 特
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