第六版上下册课后习题答案

第六版上下册课后习题答案Tag内容描述：<p>1、10-61. 利用高斯公式计算曲面积分: (1), 其中S为平面x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a所围成的立体的表面的外侧; 解 由高斯公式原式(这里用了对称性). (2), 其中S为球面x2+y2+z2=a2的外侧; 解 由高斯公式原式. (3), 其中S为上半球体x2+y2a2, 的表面外侧; 解 由高斯公式原式. (4)其中S界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y29的整个表面的外侧; 解 由高斯公式原式. (5),其中S为平面x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1所围成的立体的全表面的外侧. 解 由高斯公式原式. 2. 求下列向量A穿过曲面S流向指定侧的通量:。</p><p>2、习题12-21. 求下列微分方程的通解: (1)xy-yln y=0; 解 分离变量得, 两边积分得, 即 ln(ln y)=ln x+ln C,故通解为y=eCx .(2)3x2+5x-5y=0; 解 分离变量得5dy=(3x2+5x)dx, 两边积分得, 即 , 故通解为, 其中为任意常数.(3); 解 分离变量得, 两边积分得 即 arcsin y=arcsin x+C, 故通解为y=sin(arcsin x+C). (4)y-xy=a(y2+y); 解 方程变形为(1-x-a)y=ay2, 分离变量得, 两边积分得, 即 , 故通解为, 其中C=aC1为任意常数.。</p><p>3、习题11-31. 求下列幂级数的收敛域: (1)x+2x2+3x3+ +nxn+ ; 解 , 故收敛半径为R=1. 因为当x=1时, 幂级数成为, 是发散的; 当x=-1时, 幂级数成为, 也是发散的, 所以收敛域为(-1, 1). (2); 解 , 故收敛半径为R=1. 因为当x=1时, 幂级数成为, 是收敛的; 当x=-1时, 幂级数成为, 也是收敛的, 所以收敛域为-1, 1. (3); 解 , 故收敛半径为R=+, 收敛域为(-, +). (4); 解 , 故收敛半径为R=3. 因为当x=3时, 幂级数成为, 是发散的; 当x=-3时, 幂级数成为, 也是收敛的, 所以收敛域为-3, 3). (5); 解 , 故收敛半径为. 因为当时, 幂级数成为, 是收。</p><p>4、习题10-41. 设有一分布着质量的曲面S, 在点(x, y, z)处它的面密度为m(x, y, z), 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量. 解. 假设m(x, y, z)在曲面S上连续, 应用元素法, 在曲面S上任意一点(x, y, z)处取包含该点的一直径很小的曲面块dS(它的面积也记做dS), 则对于x轴的转动惯量元素为dIx=(y2+z2)m(x, y, z)dS, 对于x轴的转动惯量为. 2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式, 其中S是由S1和S2组成的.证明 划分S1为m部分, DS1, DS2, , DSm;划分S2为n部分, DSm+1, DSm+2, , DSm+n , 则DS1, , DSm, DSm+1, , DSm+n为S的一个划分, 并且.。</p><p>5、习题11-11. 写出下列级数的前五项: (1); 解 .解 .(2); 解 .解 .(3); 解 .解 .(4). 解 .解 .2. 写出下列级数的一般项: (1); 解 一般项为.(2); 解 一般项为.(3); 解 一般项为.(4). 解 一般项为.3. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性: (1); 解 因为, 所以级数发散. (2); 解 因为,所以级数收敛. (3). 解 .因为不存在, 所以不存在, 因而该级数发散.。</p><p>6、习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式: . 解 证明把S分成n块小曲面DSi(DSi同时又表示第i块小曲面的面积), DSi在yOz面上的投影为(DSi)yz, (xi , hi ,zi )是DSi上任意取定的一点, l是各小块曲面的直径的最大值, 则. 2. 当S为xOy面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？解 因为S: z=0, (x, y)Dxy, 故, 当S取的是上侧时为正号, S取的是下侧时为负号. 3. 计算下列对坐标的曲面积分: (1)其中S是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧; 解 S的方程为, Dxy: x2+y2R, 于是.(2), 其中z是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的第一卦限内。</p><p>7、习题11-21. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1); 解 因为, 而级数发散, 故所给级数发散. (2); 解 因为, 而级数发散, 故所给级数发散.(3); 解 因为, 而级数收敛,故所给级数收敛. (4); 解 因为, 而级数收敛,故所给级数收敛.(5). 解 因为 , 而当a1时级数收敛, 当01时收敛, 当0<a1时发散. 2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性:(1); 解 级数的一般项为. 因为, 所以级数发散. (2); 解 因为, 所以级数收敛. (3); 解 因为, 所以级数收敛. (3). 解 因为,所以级数收敛.。</p>