第五章相似矩阵

第五章相似矩阵Tag内容描述：<p>1、第五章 矩阵的对角化及二次型 第一节 方阵的特征值与特征向量,一.概念: 1.特征值,特征向量:,设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零列向量 x 使 关系式 成立，那么，这样的数 称为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量。,2.特征方程,特征多项式,特征矩阵:,称 为方阵 A 的特征方程，显然特征方程 的n个根即为 A 的n个特征值(实根或复根)。,称为 A的 特征矩阵。,设 为 的一个特征值， 为其对应的特征向量，则,注：一个特征值对应的特征向量可能有无穷多个。,例1：求矩阵 特征值和特征向量。,二.计算方法:,解：A 的。</p><p>2、第五章相似矩阵,第一节 向量的内积,一 内积的定义和性质,三 正交向量组,二 向量的长度与夹角,四 应用举例,五 正交矩阵与正交变换,一、内积的定义与性质,1、定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,注：内积是向量的一种运算,用矩阵或向量形式表示,有,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,、长度的概念,当且仅当,时,二、向量的长度与夹角,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别,长度为的向量称为单位向量.,（1）正定性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,、性质,（4）柯西施瓦兹（CauchySchwarz）不等式:,当且仅当与。</p><p>3、相似矩阵的概念,主要内容,相似矩阵的性质,矩阵对角化的步骤,第 三 节 相似矩阵,则称矩阵 A 相似于矩阵 B.,一、相似矩阵的概念,定义 1 设 A , B 为 n 阶矩阵, 如果存在 n 阶可,逆矩阵P, 使得,P-1AP = B ,二 相似矩阵的性质,相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系具有 以下性质：,而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.,(1) a）自反性 即一个矩阵与它自身相似;,b) 对称性 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,则矩阵 B 也相似于矩阵 A;,C) 传递性 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,(2) 与单位矩阵相似的只能是单位矩阵；与O矩阵相似的只能是O矩阵。</p><p>4、第五章第二节,矩阵的相似与对角化,相似矩阵的定义及性质,定义,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,性质1 矩阵的相似关系是一种等价关系,P 可逆,推论：若矩阵 与对角阵 相似，,则 是 的 个特征值。,性质3,性质2、3的逆均不真,利用对角矩阵计算矩阵的幂和矩阵多项式,我们将 A 化为与之 相似的对角形矩阵，它的高次幂就容易表出,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,证明,用相似变换将方阵对角化,定理得证。</p>