线性代数第五章(第三节相似矩阵).ppt

相似矩阵的概念,主要内容,相似矩阵的性质,矩阵对角化的步骤,第 三 节 相似矩阵,则称矩阵 A 相似于矩阵 B.,一、相似矩阵的概念,定义 1 设 A , B 为 n 阶矩阵, 如果存在 n 阶可,逆矩阵P, 使得,P-1AP = B ,二 相似矩阵的性质,相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系具有 以下性质：,而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.,(1) a）自反性 即一个矩阵与它自身相似;,b) 对称性 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,则矩阵 B 也相似于矩阵 A;,C) 传递性 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,(2) 与单位矩阵相似的只能是单位矩阵；与O矩阵相似的只能是O矩阵。,(3) 相似矩阵具有相同的秩与型。,阶矩阵.,因而 A 与 B 有相同的特征值, 相同的行列式值.,相似矩阵具有下列的性质：下设A，B 是同,定理 1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则,|A - E| = |B - E| ,只需证 A 与 B 有相同的特征多项式即,可.,由于 A与 B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P,使得,P-1AP = B ,证明,= |A - E| . 证毕,故,|B - E| = |P-1AP - P-1EP|,= |P-1| |A - E| |P|,推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵, = diag(1 , 2 , , n),相似，则 1 , 2 , , n 即是 A 的 n 个特征值.,例1 若A与B=diag(1,1,2)相似, 则A,B的特征值分别是多少?,注: A与B的特征值相同不能推出A与B相似.,例2,是否相似?,是否相似?,些运算.,不难验算,在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如,果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某,例如, 如果令,的性质,可得,的可逆矩阵 P ?,如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算,量很大也不易找出规律.,利用 A 相似于对角矩阵,那么, 是否每个矩阵都能相似于对角矩阵?,如果能,相似于对角矩阵, 怎样求出这个对角矩阵及相应,下面我们就来讨论这个问题.,注：并不是所有方阵都可以相似于一个对角矩阵的。,例3,定理 2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵 的充要,条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.,P-1AP = , 得 AP = P , 即,必要性,设有可逆矩阵 P , 使得,P-1AP = ,其中 =diag ( 1 , 2 , , n ).,将矩阵 P 按列分块, 令 P = ( p1 p2 pn ), 则由,证明,1 , 2 , , n 的特征向量.,因而,Api = i pi , i = 1, 2, , n ,因为 P 为可逆矩阵, 所以 p1 , p2 , , pn为线性无,关的非零向量, 它们分别是矩阵 A 对应于特征值,充分性,由必要性的证明可见, 如果矩阵 A,有 n 个线性无关的特征向量, 设它们为 p1 , p2 , , pn , 对应的特征值分别为 1 , 2 , , n ,即 P-1AP = . 证毕,则有,Api = i pi , i = 1, 2, , n,以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 p2 pn ),则 P 可逆, 且,AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , , n ),推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值,则A 必能相似于对角矩阵.,一定能对角化.,对于 n 阶矩阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使,P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.,对于,能对角化的矩阵，我们称求对角矩阵 和可逆,矩阵 P 使 P-1AP = 的过程为把矩阵 A 对角化.,由前面的讨论可知,当 A 的特征方程没有重根时,A 一定能对角化;,当 A 的特征方程有重根时,这时,A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不,n1 + n2 + + ns = n.,三、矩阵对角化的步骤,设 n 阶矩阵 A 可对角化，则把 A对角化的,步骤如下：,Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A,有 s 个不同的特征值 1，2， ， s ，它们,的重数分别为 n1，n2，ns ,Step2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - i E)x=0,的基础解系, 设为,i = 1, 2, , s. 以这些向量为列构造矩阵,上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.,则 P-1AP = .,要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 主对角线,例 4 设有矩阵,(1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆 矩阵 P 和对角矩阵 , 使 P-1AP = . (2) 使 P-1AP = 成立的 P 、 是否唯一， 举例说明.,（1） 矩阵 A 的特征多项式为,解,所以 A 的三个特征值分别为:,即,解之得基础解系为,当,时, 解方程组,即,解之得基础解系为,所以,是对应于,的特征向量.,当,时, 解方程组,即,所以,是对应于,的特征向量.,解之得基础解系为,因为,线性无关,即三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量, 所以,令,则,矩阵 A 可对角化.,此时,且有 P-1AP = .,例 5 设,问 x 为何值时，矩阵 A 能对角化？,解,得,对应单根 1 = -1 ，可求得线性无关的特征向,量恰有 1 个，,件是对应重根 2 = 3 = 1 ，有 2 个线性无关的特征,向量，,