二个重要极限

二个重要极限Tag内容描述：<p>1、第六节 两个重要极限 （一）极限存在准则 （二）两个重要极限 （三）小结 思考题 （一）极限存在准则 定理2.11 夹逼准则 例1 解 由夹逼定理得 v下面给出一个判定数列极限存在的准则。 v设有数列yn=f(n)，如果对任意正整数n，恒有 f(n)f(n+1), 则f(n)为单调减少数列。 v如果存在两个常数m和M(mM)，使对任意整数n ，恒有mf(n) M，则f(n)为有界数列。 v定理2.12（准则）如果数列yn=f(n)是单调有 界的，则 f(n)一定存在. v例如：yn=1-1/n，显然，yn是单调增加的， 且yn1，所有由定理2.12知，yn1（n). (二)两个重要极限 (1) 例2 解 1coslim 0 。</p><p>2、2、3 极限的运算和两个重要极限,一、极限的四则运算,二、两个重要极限,三、无穷小量的比较,说明：记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程，实际上，下面的定理对xX0及x都成立。我们只证明xX0的情形。,定理,证,由无穷小运算法则,得,一、极限的四则运算,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,求极限方法举例,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,先。</p><p>3、两个重要极限（第一个重要极限）,预备知识：,2.6 两个重要的极限,一般公式,例1 求,解:,例2 求,解: 令,则,因此,原式,例 3 求,解,例 4 求,解,（函数形式）,（数列形式）,第二个重要极限,一般形式,解: 令,则,例1. 求,例2. 求,解,2.7 利用等价无穷小量代换求极限,定理1 设,且,则,证明,定理2 设,存在，,则,证明,几个常用的等价无穷小量.,当x 趋于0 时,这些等价的无穷小量常常在求极限时用来进行等价,无穷小量的代换，简化极限的运算.,课本79页例题,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,证。</p><p>4、教学目的：,理解并会应用两个重要极限求函数的极限。,1.5 两个重要极限,一、,1、观察函数图象变化趋势,不难得出:当自变量 x0时, 函数无限趋于 1.,2、再看看在计算机上,进行的数值计算结果：,即：三统一,前提：含三角函数的0/0型未定式,4、特点：,1、分子、分母的极限值均为0. 2、分子是分母的正铉函数.,例,解,例,解,例,解,例,解,例,解,例,解,例,解,练习.求极限,练习.求极限,根据第一个重要极限,根据有界变量与无穷小的积是无穷小,根据有界变量与无穷小的积是无穷小,解,（1）幂指函数的底趋于1，指数趋于无穷时，其极限值是e.,称作:1 型极。</p><p>5、第六节极限存在准则 两个重要极限,一 、准则I及第一个重要极限,二、准则II及第二个重要极限,一、准则I及第一个重要极限,如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ),准则 I,准则I,如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A,证,如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ),准则 I,上两式同时成立,max,2,1,N,N,N,=,取,圆扇形AOB的面积,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,第一个重要极限,当,时,注,注:,这是因为 令u=a(x) 则u0 。</p><p>6、第六节 两个重要极限,因为,根据两边夹法则得,所以,注,此类形特点:,(1),(2)带三角函数.,故,因,例1,求,解,原式,例2,求,解,原式,例3,求,解,原式,例4,求,解,原式,例5,求,解,原式,课堂练习,求,解,原式,和差化积公式,注,此种类型极限的特点,(1),(2),幂指函数,类型,例6,求,解,原式,例6,求,另解,原式,例7,求,解,原式,例7,求,另解,原式,补 充,讨论,如果,则,已知,课堂练习,求,连续复利问题：,复利公式:,本金为 ,年利率为r,本利和为A,一年后,二年后,t年后,连续复利可看作一年计算n次复利,再让,t年后,总结,作业题,2.习题二 (A) 19、20.,1.记住两个重要。</p><p>7、第五节 两个重要极限,一,于是得到第一个重要极限：,显然,例1:求下列极限,解:,二第二个重要极限,都称为第二个重要极限,第二个重要极限可以推广为以下形式:,为了计算的方便，上述推广的结果还可以进一步推广为：,例2 ： 求下列极限,解:,（1）这里,这里,这里,课堂练习,求下列极限,等价无穷小代换法则：若 为 型未定式极限,三利用等价无穷小代换计算 未定式的极限,两个无穷小量 ， 之比的极限 称为 型未定式极限,例如,需要记住的等价无穷小量有：,例3 ： 求下列极限,课堂练习,利用等价无穷小代换求下列极限,第六节 函数的连续性,许多变量的变。</p><p>8、莫兴德 广西大学 数信学院,Email:moxingdegxu.edu.cn,微 积 分,链接目录,第二章 极限与连续,数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性,2.6 两个重要的极限,一、极限存在准则,1.夹逼准则,证,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,准则 I和准则 I称为夹逼准则.,证,由夹逼定理得,例,证,由夹逼定理得,例,例1,解,由夹逼定理得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,例2,证,(舍去),二、两个重要极限,(1),例3,解,(2),定义,类似地,例4,解,例5,解,三、。</p>