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2、3 极限的运算和两个重要极限,一、极限的四则运算,二、两个重要极限,三、无穷小量的比较,说明：记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程，实际上，下面的定理对xX0及x都成立。我们只证明xX0的情形。,定理,证,由无穷小运算法则,得,一、极限的四则运算,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,求极限方法举例,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,先变形再求极限.,例6,解,例7,解,左右极限存在且相等,意义：,例8,解,小结,1、极限的四则运算法则及其推论;,2、极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,3、复合函数的极限运算法则,二、两个重要极限,(1),注意：,例,解,(2),定义,模式,例4,解,例5,解,小结,1.两个准则,2.两个重要极限,迫敛准则; 单调有界准则 .,三、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义:,例如，,例1,解,证,必要性,充分性,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,见课本357页,例,解,等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,例,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,注意,例,解,例,解,解,错,例6,解,另解:,小结,1、无穷小的比较,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2、等价无穷小的代换:,求极限的又
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