非线性方程的数值解法

非线性方程的数值解法Tag内容描述：<p>1、第二章 非线性方程的近似解法,第二章 非线性方程的近似解法,2.0 简介 2.1 二分法（对分法） 2.2 简单迭代法 2.3 Newton迭代法,2.0 简介,求解非线性方程 f(x)=0,一、问题,困难：方程的解难以用公式表达。,例如:1)多项式方程：,需要一定精度的近似解！,2)超越方程:,方程 的解 称为方程 的根或称为 的零点。,二、概念,方程可能有多个实根，我们只能逐个求出来。,二、概念,设在区间a,b上方程有一个根，则称该区间为方程的一个有根区间。若在区间a,b上方程只有一个根，则称该区间为方程隔根区间。,Remark：若能把有根区间不断缩小，则可以得出。</p><p>2、二分法实验(1)上机题目：二分法的应用 实验目的：熟悉二分法并在计算机上实现 实验要求：上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序；完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言，算法步骤陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等；用编好的程序在atlab环境中执行。算法说明：找出 计算f(x)在有限根区间a, b端点的值，f(a),f(b)计算 计算f(x)在区间中点（）处的值f() .判断 若f()=0，则即是根，计算过程结束，否则检验若()f(a)0,delta= d=10不动点迭代法实验上机题目：不动点迭代法的实现 实。</p><p>3、非线性方程的数值解法,引言 在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程 f(x)=0 (2.1) 的求根问题，其中f(x)为非线性函数。 方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点 如果f(x)可以分解成 ,其中m为正整数且 ,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m1) 当且仅当,记笔记,非线性方程的数值解法,当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次。</p><p>4、1,在科学研究的数学问题中更多的是非线性问题，它们又常常归结为非线性方程或非线性方程组的求解问题。,2,第7章 非线性方程与方程组的数值解法 /* Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/,7.1 方程求根与二分法 7.2 不动点迭代法及其收敛性 7.3 迭代收敛的加速方法 7.4 牛顿法 7.5 弦截法与抛物线法 7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点 7.7 非线性方程组的数值解法,3,7.1 方程求根与二分法,7.1.1 引言,（1.1）,单变量非线性方程的一般形式,其中 也可以是无穷区间.,f(x)是高次多项式函数或超越函数,（1.2）,如果函数 是多项式函数。</p><p>5、第二章 非线性方程的数值解法,简介（Introduction）,我们知道在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如 （1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,我们需要求x-tanx=0的根 （2）在行星轨道（ planetary orbits）的计算中,对任意的a和b，我们需要求x-asinx=b的根 （3） 在数学中，需要求n次多项式xn + a1 xn-1+.+an-1 x + an 0的根,求f(x)=0的根,2.1 对分区间法 (Bisection Method ),原理：若 f(x) Ca, b，且 f (a) f (b) 0，则f(x) 在 (a, b) 上必有一根。,x1,x2,a1,b2,x*,b1,a2,误差 分析：,第 k 步产生的 xk 有误差。</p><p>6、1,第七章非线性方程的数值解法,求f(x)=0的根,第一节方程求根的二分法,第二节一元方程的不动点迭代法,第三节一元方程的常用迭代法,上一页下一页返回,2,本章要讨论的问题：,（非线性）方程f(x)=0的数值解法,首先引入定。</p><p>7、第二章非线性方程的数值解法/*NumericalSolutionsofNonlinearEquations*/,本章主要内容：1、二分法2、不动点迭代的构造及其收敛性判定（重点）3、Newton和Steffensen迭代（重点）4、割线法5、非线性方程组的迭代解法,历史背景,求方程几何意义,基本定理,如果函数在上连续，且则至少有一个数使得，若同时的一阶导数在内存在且保持定号，即(或)则这样的在内唯。</p><p>8、第五章 非线性方程的数值解法,5.1 二分法 5.2 迭代法 5.3 牛顿法 5.4 弦截法,引 言,非线性方程： 指次数不低于二的代数方程和超越方程。 代数方程： 16世纪：找到三次、四次方程的求根公式； 19世纪：证明了5次以上的一般代数方程无公式解。,工程中常有此类方程，例如：在风道设计计算 中，通常采用柯氏公式：,5.1,解题步骤：,1 确定初始区间：,一般题中给出或画出函数图形或由实际。</p><p>9、第六章非线性方程的数值解法，6.1引言在科学研究和工程设计中，经常遇到的一大类问题是求非线性方程f(x)=0 (6.1)的根的问题，其中f(x)是一个非线性函数。方程f(x)=0的根也称为函数f(x)的零点。如果f(x)可以分解成f(x)=(x-x*)mg(x)，其中m是正整数，g (x*)是0，那么x*是f(x)的m倍零，或者方程f (x) X*是m=1时的单根。如果f(x)有一个m阶导数，它。</p><p>10、第三章 非线性方程的数值解法,科学技术研究与工程实践中，经常会遇到求解非线性方 程的问题，一般归纳为求解方程 其中 是一元非线性实函数。根据 是代数多项式还 是超越函数（指数函数、对数函数、三角函数等），方程分 别称为代数方程或超越方程。 次代数方程： 超越方程：,第三章 非线性方程的数值解法,对于代数方程，根的数目与方程的次数相同，不高于4 次的代数方程已有求根公式，高于4次的代数。</p><p>11、,第三章 非线性方程的数值解法,科学技术研究与工程实践中，经常会遇到求解非线性方 程的问题，一般归纳为求解方程 其中 是一元非线性实函数。根据 是代数多项式还 是超越函数（指数函数、对数函数、三角函数等），方程分 别称为代数方程或超越方程。 次代数方程： 超越方程：,.,第三章 非线性方程的数值解法,对于代数方程，根的数目与方程的次数相同，不高于4 次的代数方程已有求根公式，高于4。</p><p>12、第二章 非线性方程的数值解法,2.1 二分法 2.2 一般迭代法 2.3 牛顿迭代法 2.4 弦截法,（1）确定初始含根区间,数值计算方法主要分为两大类。,第一类是区间收缩法。,（2）收缩含根区间,第二类是迭代法。,（1）选定根的初始近似值,（2）按某种原则生成收敛于根的近似点列,2.1 二分法,基本假设 :,2.1.1 二分法的计算步骤,常用终止原则为:,2.1.2 二分法的收敛性与事前误。</p>