复变函数第四章

复变函数第四章Tag内容描述：<p>1、第四章、级 数 基本内容： 1、复数项级数(概念和收敛的充要条件)。 2、幂级数 (收敛圆、收敛半径的计算) 3、函数的泰勒级级数、洛朗级数展开式。 重点：收敛半径、级数展开式。 1 复数项 级 数 （常数项级数） 1、复数列的极限： 2、复数项级数： 复习掌握 一、正项级数审敛法： 2 幂 级 数 1、幂级数： 3 泰 勒 级 数 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数。 研究：一个解析函数是否能用幂级数来表达？ 问题：泰勒级数可以将解析函数展开为幂级数，但这样的 展开式是否唯一呢？ 解析函数泰勒展开式的方法： (1)、直接法： 直接用泰勒展开。</p><p>2、4.1 复数项级数 4.2 幂级数 4.3 泰勒(Taylor)级数 4.4 洛朗(Laurent)级数 第 四 章 级 数 在z - z0=R 2外发散。 z0 R1 R2 z0 R2 R1 A (2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上, 1. 函数展开成双边幂级数 定理 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 记为I1记为I2 式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 A (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)。</p><p>3、1. 复数列的极限 2. 级数的概念,第四章 解析函数的级数表示法,4.1 复数项级数,1. 复数列的极限,定义4.1,又设复常数：,定理4.1,证明,课堂练习:,下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.,收敛, 极限为-1,发散,收敛，极限为0,2. 复级数的概念,级数的前面n项的和,定义4.2,设复数列：,例1,解,定理4.2,证明,解,所以原级数发散.,例1,必要条件,重要结论:,不满足必要条件,所以原级数发散.,级数发散;,应进一步判断.,由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。,定理4.3,定理4.4,定义4.3,?,由定理4.4的证明过程，及不等式,。</p><p>4、第四章级数 第一节复数项级数 第二节幂级数 第三节泰勒级数 第四节洛朗级数 第一节复数项级数 一 复数列的极限 二 级数的概念 三 典型例题 四 小结与思考 一 复数列的极限 1 定义 记作 2 复数列收敛的条件 那末对于任意给定的 就能找到一个正数N 证 从而有 所以 同理 反之 如果 从而有 证毕 课堂练习 下列数列是否收敛 如果收敛 求出其极限 二 级数的概念 1 定义 表达式 称为复数项无。</p><p>5、1,第三节 泰勒级数,2,f(x)在a有任意阶导数，则f(x)在a的某邻域内能够展 为Taylor级数,在该区间内,3,一、泰勒定理,其中,泰勒 级数,泰勒展开式,定理4.14,设,泰勒系数,4,解析函数的又一个等价命题：,5,注：,6,二、幂级数的和函数在收敛圆周上的状况,7,8,三、将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计。</p>