高等数学不定积分

高等数学不定积分Tag内容描述：<p>1、第五章 不定积分 判断题 1. ； 对( )( )F x dxF xC 2. ； 错 Cxfdxxf dx d )()( 3. 若 可导，则 ； 错)(xf )()(xfxdf 4. 是 的一个原函数； 对sin xcosx 5. 若 则 ； 错 3 ( ),f x dxxC 2 ( )f xx 6. 设且,则 ； 错( )1fx(0)0f 2 1 ( ) 2 f x dxxxC 填空题 1. __ln(x+1)+C____ ； dx x1 1 2.设 是 的一个原函数，则 = __ex-sinx_____；sin x ex)(xf( )fx 3. 的原函数是 __ X6+C_____ ； 5 yx 6 1 4.函数 ________ 的原函数是 ； x 1 ln(5 )yx 5.若 ，则 ____2_____ ；( )arcsin2f x dxxC (0)f 6.若 ，则 __x2-x4+C________； 2 ( )f x dxx。</p><p>2、肄膂蚇袁羀膁蝿蚄艿芀葿衿膅艿薁蚂肁芈蚄袈肇芇蒃蚀羃芇薆羆芁芆蚈蝿膇芅螀羄肃芄蒀螇罿莃薂羃袅莂蚄螅膄莂莄羁膀莁薆螄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁蚅膇莇薃袀肃蒆蚅蚃罿蒆莅衿袅蒅蒇蚁芃蒄蚀袇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒁薄螈芀蒀蚆羃膆薀螈螆肂蕿蒈羂羈膅薀螄袄膄螃肀节膃蒂袃膈膃薅肈肄膂蚇袁羀膁蝿蚄艿芀葿衿膅艿薁蚂肁芈蚄袈肇芇蒃蚀羃芇薆羆芁芆蚈蝿膇芅螀羄肃芄蒀螇罿莃薂羃袅莂蚄螅膄莂莄羁膀莁薆螄肆莀虿聿羂荿螁袂芁莈蒁蚅膇莇薃袀肃蒆蚅蚃罿蒆莅衿袅蒅蒇蚁芃蒄蚀袇腿蒃螂螀肅蒂蒂羅羁蒁薄螈芀蒀蚆羃膆薀螈螆肂蕿蒈羂羈膅薀螄袄膄螃肀节膃。</p><p>3、第四章测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、函数为 的一个原函数.2、已知一阶导数 ，则= 3、若，则= 4、已知二阶导数连续，则不定积分= 5、不定积分= 二、选择题（每小题4分，共20分）1、已知函数为的一个原函数，则下列函数中是的原函数的是 (A) (B) (C) (D) 2、已知 ，则= (A) (B) (C) (D) 3、若函数为的一个原函数，则不定积分= (A) (B) (C) (D) 4、已知函数在。</p><p>4、第四章 不定积分一、 基本要求1. 理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。2. 掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。3. 了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。二、 主要内容不定积分概念不定积分性质基本积分法基本积分公式无理函数的积分可化为有理函数的积分原函数概念第二类换元法第一类换元法分部积分法. 原函数与不定积分概念1.原函数设在区间上可导，且（或）就称为在的一个原函数。2.不定积分在区间上函数的所有原函数的集合，成为在区间上的不定积分，记作 .其中为在上的一个原函数，为任意常数.不定积分的性质1. (。</p><p>5、第六讲 不定积分的概念与换元积分法 1 不定积分的概念与性质 2 凑微分法(第一换元积分法) 3 第二换元积分法 例 定义： 1、原函数与不定积分的概念 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数 ） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数 ， 则（ 为任意常数 ） 证 （ 为任意常数 ） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 例1 求 解 解 例2 求 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处。</p><p>6、3. 3. 分部积分法分部积分法 设 u (x), v (x) 有连续导数，则 两边取积分 ： 分部积分公式分部积分公式 要求 ： 如何选择 v ? 例1 ： = ? 一般一般 ： (1) v 要容易求出。 v v ( (x x) ) 的的 e x ; 次选 ： sin x , cos x ； 再次之 ： 首选： x 等幂函数； 不选 ： ln x . 例例 题题 讨讨 论论 例2 ： 小结（一）小结（一） ： 可降低x m 的幂次数。 例3 ： 例4 ： 小结（二）小结（二） ： 可使原来含超越函数的被积函数化为 代数函数的积分。 例5 ： 再生法 例6 ： 由再生法： 例7 ： +a 2-a 2 由再生法 ： 本例还可用前面讲过的三角。</p><p>7、不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设， ，若存在函数，使得对任意均有 或，则称为的一个原函数。的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为注：（1）若连续，则必可积；（2）若均为的原函数，则。故不定积分的表达式不唯一。性质性质1：或；性质2：或；性质3：，为非零常数。计算方法第一换元积分法（凑微分法）设的 原函数为，可导，则有换元公式：第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零，有原函数，则 分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本。</p><p>8、第一节 不定积分的概念及其线性法则,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的线性运算法则,四、直接积分法,引例 设曲线通过点 (1 , 2) , 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 , 求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点(1 , 2) ,所求曲线方程为,定义：,一、原函数与不定积分的概念 1.原函数,设 f (x) 在区间 I 内有定义，若存在可导函数 F(x)使对每一个 xI 有,F(x)= f(x),或 dF(x) = f (x)dx ，,则称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 内的一个原函数 .,关于原函数有以下三个问题：,1) f(x) 满足什么条。</p><p>9、1,第五章 定积分,定积分和不定积分是积分学的两个,一种认识问题、分析问题、解决问题的,definite integral,不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想 -,主要组成部分.,思想方法.,2,第一节 定积分的概念与性质,定积分问题举例,定积分的定义,函数的可积性,定积分的意义,定 积 分,定积分的性质,definite integral,3,1.曲边梯形的面积,求由连续曲线,一、定积分问题举例,4,用矩形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,思想,近似代替曲边梯形面积,5,四个步骤来求面积A.,(1) 分割,(2) 近似,6,(3) 求和,矩形面积之和为曲边梯。</p><p>10、第四章 不定积分,教学目的要求,1、理解原函数的概念，不定积分的概念、几何意义及性质。,2、掌握不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法和分部积分法。,3、了解简单有理函数的积分方法。,学习重点和难点,重点 不定积分的计算,难点 不定积分的换元积分法和分部积分法。,原函数,定理（原函数存在定理）,不定积分的概念,不定积分的几何意义,不定积分的性质,性质1 不定积分与求导数（或微分）互为逆运算，即,性质2 被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前，即,性质3 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不定积分的代数和，即,这。</p><p>11、第一节 不定积分的概念与性质,本节要点,本节通过原函数引出了不定积分的概念, 并得到不定,一、原函数与不定积分,二、不定积分的计算,积分的简单性质.,一、原函数和不定积分的概念,1.原函数,在第二章中曾提出对已知 求 的,求导问题, 而现在的问题是:,的 这类问题就是求原函数问题.,若,已知, 求满足,即对任一 都有,定义3.1 如果在区间 内的可导函数 的导函数为,或,则称函数 为 在区间 内的一个原函数.,例如 函数 的一个原函数为,又如,这是因为,故, 的原函数为,我们知道, 对函数而言, 如果导函数存在的话, 导函,数是唯一的, 但某个函数的原函。</p><p>12、不定积分例题 例1 设的一个原函数是 则 A B C D 分析 因为的一个原函数是 所以 答案 B 例2 已知 则 A B C D 分析 对两边求导 得 所以 答案 C 例3 计算下列不定积分 1 2 分析 利用基本积分公式积分运算性质进行积分 注意在计算时 对被积函数要进行适当的变形 解 1 2 例4 计算下列积分 1 2 分析 注意到这几个被积函数都是复合函数 对于复合函数的积分问题一般是利用。</p><p>13、第三章 一元函数积分学,问题的提出,我们知道,反之，,不难知道,因此，本章所讲的内容就是导数的逆运算,第一节 不定积分,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,（ 为任意常数）,不定积分的。</p>