高等数学第六

高等数学第六Tag内容描述：<p>1、第六章 定积分的应用第二节 定积分在几何上的应用1. 求图中各阴影部分的面积: （1） .(2) 1(3). (4). 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) . (2). (3). (4)3. . 4. （1）.（2）.4 5. (1) pa2. (2) . (3). 6. （1）（2）（3） 7求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：（1）（2）（3）（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，绕。（5）摆线8由y=x3, x=2, y=0所围成的图形, 分别绕x轴及y轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积.9把星形线所围成的图形, 绕x轴旋转, 计算所得旋转体的体积.10（1）证明 由平面图形0axb, 0yf(x)。</p><p>2、习题课,1. 定积分的应用,几何方面 :,面积、,体积、,弧长、,表面积 .,物理方面 :,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2. 基本方法 :,微元分析法,微元形状 :,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等.,转动惯量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的应用,第六章。</p><p>3、一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,或直接用公式。,课堂练习,解,例4,代入原方程有,不是齐次的,解：,代入方程得,通解为：,X=2,y=1的特解为。</p><p>4、第六节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、函数的幂级数展开式的应用,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶。</p><p>5、1,6.1.4 几种特殊类型函数的积分,记,A. 有理函数的积分法,2,定理 3 设,其中, , , , 是正整数, a, , b, p, q, , r, s是实数, 且各二次式x2+px+q, , x2+rx+s都不能再分解, 则：,3,故, 对有理真分式,归结为对下列函数的积分：,它们都可以积出来, 故有结论： 一切有理函数的原函数都可以用初等函数表示。,4,例1.,解:,5,故,于是,6,例2.,解:,7,例3.,解:,8,于是,故,9,例4.,解:,10,所以,=,11,对于一般m,设 有,12,于是，,2.,其中，,13,B. 三角有理函数的积分法,其中, R(u,v)是u,v的有理函数.,14,故,例1.,解:,15,例2.,解:,16,例3.,解:,17,C.简单无理。</p><p>6、第六章 向量代数与空间解析几何,向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛的应用.本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算. 空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几何图形联系起来，是数形结合的典范.本章第二部分，学习一些空间解析几何的基本知识.,第一节 空间直角坐标系,一、 空间直角坐标系,任意两条坐标轴确定的平面称为坐标面.由x轴和y轴，y轴和z轴，z轴和x轴所确定的坐标面分别叫做xOy面，yOz面和zOx面.三个坐标面把空间分隔成八个部分，每个部分称为一个卦限，依次叫第一至第八卦限.,。</p><p>7、绕 z 轴旋转,yoz 面上曲线 C:,绕 y 轴旋转,总之,绕谁谁不变,另外一个正负根号换, 换完就得旋转面,(根号下为另两个的平方和),8.3内容回顾,已知轨迹求方程：,旋转面,已知方程问轨迹：,柱面、二次曲面,1. 椭球面,椭球面的草图为:,当 ab 时或为旋转椭球面;,当abc 时为球面.,2. 椭圆锥面,草图为:,当 ab 时为圆锥面,常见的二次曲面,3.单叶双曲面,草图为,当 ab 时为旋转单叶双曲面,4. 双叶双曲面,草图为:,当 ab 时为旋转双叶双曲面,5. 椭圆抛物面,草图为:,a=b时为旋转抛物面,6. 双曲抛物面,（鞍形曲面）,草图为:,7. 椭圆柱面,8. 双曲柱面,9. 抛物。</p><p>8、一般周期的函数的傅里叶级数,以2 l 为周期的函数的,傅里叶展开,以2 l 为周期的函数的傅里叶展开,周期为 2l 函数 f (x),周期为 2 函数 F(z),变量代换,将F(z) 作傅氏展开,f (x) 的傅氏展开式,设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f (x) 的连续点处),其中,定理.,证明: 令, 则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,( 在 F(z) 的连续点处 ),变成,是以 2 为周期的周期函数 ,其中,令,( 在 f (x) 的 连续点处 ),证毕,说明:,其中,(在 f (x) 的连续点处),如果 f (x) 为偶函数, 则有,(在 f (x) 。</p><p>9、第十二章 微分方程,第六节,上页 下页 返回 结束,可降阶高阶微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型,上页 下页 返回 结束,例1.,解,上页 下页 返回 结束,例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减,直到 t = T 时 F(T) = 0 .,如果开始时质点在原点,解 据题意有,t = 0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分, 得,上页 下页 返回 结束,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,。</p>