高等数学二重积分

高等数学二重积分Tag内容描述：<p>1、柱体体积=底面积 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 曲顶柱体的体积 一、问题的提出 播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底 ，并取典型小区域， 曲顶柱体的体积 求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 二、二重积分的概念 积分区域积分区域 积分和积分和 被积函数被积函数 积分变量积分变量 被积表达式被积表达式 面积元素面。</p><p>2、第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则 若D为Y 型区域 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型。</p><p>3、柱体体积=底面积 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 曲顶柱体的体积 一、问题的提出 播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底 ，并取典型小区域， 曲顶柱体的体积 求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 二、二重积分的概念 积分区域积分区域 积分和积分和 被积函数被积函数 积分变量积分变量 被积表达式被积表达式 面积元素面。</p><p>4、高等数学论文浅谈二重积分听了肖老师整个大一的数学课，让我深刻的感觉到数学的世界是多姿多彩的，数学的语言的优雅完美的；正如老师所说的一样，他的数学课就像是一篇散文。原来，数学还可以这么学。用几个简单的数学方程，在空间中组合成一个个灵动的图形，这便是二重积分，这也是我想和大家一起分享的解题心得。首先让我们明确定义：有界函数在有界闭区域D上的二重积分为。其中，为（i=1,2,.,n）的直径的最大者，即分割的细度，几何意义：若，则表示以D为底，以为顶的曲顶柱体体积。接着分享一下按区域类型化为二次积分的方法：第一种。</p><p>5、二重积分的概念和性质 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积 分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形 式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发 展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空 间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经 不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维 的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从 而提出了多元函数的积分学问题。 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 当人们把定积分解决问题的基本思想“分 割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问 题时发现是完全可行的。把解决的基本方。</p><p>6、第九章 二重积分二重积分的概念与性质【本章逻辑框架】二重积分的计算在直角坐标系中二重积分的计算在极坐标系中二重积分的计算二重积分的应用【本章学习目标】理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的。</p><p>7、三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-。</p><p>8、第九章 重积分习题课(一),二 重 积 分,一、二重积分的概念,1定义 ：,2几何意义：,表示曲顶柱体的体积,3物理意义：,二、二重积分的性质（三重类似）,1线性性质：,2. 可加性：,4. 单调性：,3. 区域 的面积：,若在 上, ,则,设,5估值性质：,6中值定理：,7.奇偶对称性：, 是 的面积,0,D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的奇函数,设函数 在闭区域 上连续,D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的偶函数,则,三、二重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,（1）X-型区域：,.,关键：选择积分次序,（2）Y-型区域：,2利用极坐标计算,四. 典型例题,由于在 上,故由二重积。</p><p>9、第二节 二重积分的计算,一 直角坐标系中的计算方法,二 极坐标系中的计算方法,一 直角坐标系中的计算方法,计算二重积分的基本思想：化为两次定积分,分别用平行于x轴和y轴的直线对区域进行分割，如图。,x,y,可见，除边缘外，其余均为矩形，其面积为,可以证明：,其中dxdy称为面积元素。,利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分,（1）当积分区域为,以下均设函数 且在D上连续。,如图所示：,相应的曲顶柱体如右图。,在区间a，b内任取一点x，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：,底为,高为,其面积为,所以根。</p><p>10、7.6 二重积分,二重积分的概念,二重积分的性质,二重积分的计算,小结,思考与练习,在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性,质推广到二元函数的定积分，即二重积分，为引出二重积,分的概念，我们先来讨论两个实际问题。,1.曲顶柱体的体积,体积公式来计算，但可采用这样的思想方法,二重积分的概念,（1）分割,（2）近似,即,(3)求和,就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，,即,（4）取极限,即,2.平面薄板的质量,上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。,在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的 和的极限。。</p><p>11、第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,步骤如下：,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,二、二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二。</p><p>12、第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,2019/6/29,重积分,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的概念与性质,第九章,2019/6/29,重积分,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/6/29,重积分,1)。</p><p>13、2019/6/29,重积分,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,2019/6/29,重积分,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/6/29,重积分,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/6/29,重积分,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选。</p><p>14、第九章 重积分习题课(一),二 重 积 分,一、二重积分的概念,1定义 ：,2几何意义：,表示曲顶柱体的体积,3物理意义：,二、二重积分的性质（三重类似）,1线性性质：,2. 可加性：,4. 单调性：,3. 区域 的面积：,若在 上, ,则,设,5估值性质：,6中值定理：,7.奇偶对称性：, 是 的面积,0,D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的奇函数,设函数 在闭区域 上连续,D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的偶函数,则,三、二重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,（1）X-型区域：,.,关键：选择积分次序,（2）Y-型区域：,2利用极坐标计算,四. 典型例题,由于在 上,故由二重积。</p>