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,第九章 重积分习题课(一),二 重 积 分,一、二重积分的概念,1定义 ：,2几何意义：,表示曲顶柱体的体积,3物理意义：,二、二重积分的性质（三重类似）,1线性性质：,2. 可加性：,4. 单调性：,3. 区域 的面积：,若在 上, ,则,设,5估值性质：,6中值定理：,7.奇偶对称性：, 是 的面积,0,D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的奇函数,设函数 在闭区域 上连续,D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的偶函数,则,三、二重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,（1）X-型区域：,.,关键：选择积分次序,（2）Y-型区域：,2利用极坐标计算,四. 典型例题,由于在 上,故由二重积分的性质可知,即,【例2】计算二重积分 其中,注意到 既是 型区域, 又是 型区域，而无论 型区域,或 型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把 分割成,两个 型区域或两个 型区域的和的形式。 不妨把 分成,型区域的和 来计算,解: 积分区域如图所示.,将二重积分转化为先对 后对 的二次积分,得,因 其中,解: 积分区域如图所示.,在极坐标系下，由于,将二重积分转化为极坐标系下先对 后对 的二次积分,得,解:在极坐标系下，由于,解: 积分区域如图。为去掉绝对值：,则,分析 由于积分区域 关于 轴对称，故先利用二重积分的,化为二次积分进行计算即可。,关于 为奇函数，故,解：,分析 本题是二重积分的计算、变上限积分求导和求极限的综合题目。应首先利用极坐标将二重积分转
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